A Prancha Trigonométrica

A Prancha Trigonométrica é um aparato pedagógico desenvolvido pela empresa MMP Materiais Pedagógicos, para que o professor, ou aluno, possa desenvolver atividades no estudo do círculo trigonométrico, pois é possível observar os valores do seno, cosseno e tangente de um ângulo simultaneamente. Entretanto, não há precisão nas medições, exceto para os ângulos notáveis, pois os valores já estão impressos nos eixos.

A prancha trigonométrica é composta por duas partes: uma base branca fixa e uma transparente giratória. Na base branca encontra-se o círculo trigonométrico de raio $r=1$, dividido em ângulos, numerado internamente em graus e externamente em radianos. Há também os eixos dos senos, cossenos e tangentes, divididos em décimos e também os valores irracionais de ângulos notáveis.

Na parte transparente giratória, encontra-se uma reta em vermelho que passa pela origem, por onde se dá o giro, e uma circunferência de raio igual a $r/2$, com centro em uma dessas semirretas.

Quando giramos a parte transparente, a reta forma um ângulo $\theta$ com o eixo dos cossenos (eixo horizontal) e podemos verificar o valor do ângulo, do seno, do cosseno e da tangente simultaneamente, apenas observando os pontos de intersecção da circunferência com os eixos dos senos e dos cossenos e da reta com o eixo das tangentes.

Vejam que, ao girarmos a parte transparente formando um ângulo $\theta$ com o eixo dos cossenos, o ponto $P$ indica o ângulo em graus e em radianos, e as projeções do ponto $P$ nos eixos dos cossenos e dos senos, dão os pontos $x$ e $y$, que são os valores do cosseno e do seno do ângulo $\theta$, assim como o ponto $t$ é a intersecção da reta com o eixo das tangentes, o que nos dá o valor da tangente do ângulo $\theta$.

Vejamos alguns exemplos determinando os valores de seno, cosseno e tangente para os ângulos notáveis.

Girando a parte transparente no sentido anti-horário até que a reta forme um ângulo $\theta = 30°$ com o eixo dos cossenos, podemos observar os valores:

Aqui a projeção do ponto $P$, que é a intersecção da reta com a circunferência de raio unitário, sobre o eixo dos cossenos, recai sobre o ponto $x=\sqrt{3}/2$. A projeção do ponto $P$ sobre o eixo dos senos recai sobre o ponto $y=1/2$, ou seja, exatamente na metade do eixo. A tangente é definida pela razão entre o seno e o cosseno:

$$\text{tan} (45°)=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=1$$

A projeção do ponto $P$ sobre o eixo dos cossenos recai sobre o ponto $x=1/2$ e a projeção do ponto $P$ sobre o eixo dos senos recai sobre o ponto $y=\sqrt{3}/{2}$. Observem a relação entre os ângulos de $30°$ e $60°$.

Se girarmos um pouco mais a parte transparente até que a reta forme um ângulo de $90°$ com o eixo dos cossenos, vemos que a reta se torna paralela ao eixo das tangentes, não tendo nenhum ponto em comum. Observamos os seguinte valores:

Vejam que aqui o diâmetro da circunferência de raio $r/2$ está sobre o eixo dos senos e a intersecção se dá no ponto $y=1$ que é o raio do círculo unitário. Observamos ainda que não existe um valor para a tangente de $90°$. Quando o ângulo $\theta$ se aproxima de $90°$, o valor do cosseno torna-se cada vez menor, aproximando-se de zero; já o seno fica cada vez mais próximo de $1$; a tangente cresce rapidamente, tendendo ao infinito. Poderíamos dizer então que, quando $\theta$ tende a $90°$, a tangente tende ao infinito. Até é verdade, mas num contexto geral não faz muito sentido dizer que a tangente de $90°$ é igual a $+\infty$, já que o infinito não é um número e faz mais sentido no Cálculo, quando é apresentado limites no infinito, que não é o foco deste aparato.

Para os demais quadrantes, obtemos valores para o seno, cosseno e tangente aplicando a redução ao primeiro quadrante.

Assim, podemos construir uma tabela mais elaborada para os ângulo notáveis: