Seja um segmento de reta $AB$. Para dividirmos em três segmentos congruentes, seguimos os passos:
1. Encontramos o ponto médio $M$ do segmento $\overline{AB}$. Para isso, descrevemos dois arcos de circunferências de raio iguais a $\overline{AB}$ e marcamos as intersecções como $C$ e $D$. A reta que passa por $C$ e $D$ intersecta $\overline{AB}$ em seu ponto médio.
2. Descrevemos duas circunferências de raios iguais a $\overline{AM}$ com centros em $A$ e em $B$.
3. Com centro em $M$ e raio $\overline{AM}$, descrevemos outra circunferência e marcamos como $E$ e $F$ nas intersecções com as circunferências centradas em $A$ e $B$ de raios $\overline{AM}$.
4. Traçamos dois segmentos que passam por $\overline{CE}$ e $\overline{CF}$. As intersecções desses segmentos com o segmento $\overline{AB}$ geram os pontos $G$ e $H$, que o dividem em três segmentos congruentes.
5. Assim, $\overline{AG}$, $\overline{GH}$ e $\overline{HB}$ valem $\displaystyle \frac{1}{3}\ \overline{AB}$.
Demonstração:
Os triângulos $\triangle ABC$ e $\triangle AEM$ são equiláteros por construção. Leia o artigo Construção de um triângulo equilátero com régua e compasso.
Por semelhança de triângulos, temos que:
$$
\frac{\overline{AB}}{\overline{AM}} = \frac{\overline{AG}}{\overline{GM}}
$$
Mas, como $\displaystyle \overline{AM} = \frac{\overline{AB}}{2}$, substituímos na relação acima:
$$\frac{\overline{AB}}{\displaystyle \frac{\overline{AB}}{2}} = \frac{\overline{AG}}{\overline{GM}}\\
\ \\
\frac{2\ \overline{AB}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{AG}}{\overline{GM}}\\
\ \\
2=\frac{\overline{AG}}{\overline{GM}}\\
\ \\
2\ \overline{GM} = \overline{AG}
$$
Como $\triangle ABC$ e $\triangle AEM$ são semelhantes, logo:
$$2\ \overline{AG} = \overline{GB}
$$
E, portanto:
$$\overline{AG} = \frac{1}{3}\overline{AB}
$$
Por simetria, podemos demonstrar analogamente que:
$$\overline{HB} = \frac{1}{3}\overline{AB}
$$
E, consequentemente:
$$\overline{GH} = \frac{1}{3}\overline{AB}
$$
Assim::
$$\overline{AG} \cong \overline{GH} \cong \overline{HB}
$$