Por que fatorial de zero é um?

Neste artigo veremos por que $0$ fatorial é $1$, utilizando para isso a indução matemática, juntamente com um conhecimento prévio sobre fatoriais.

A expressão fatorial é simples de compreender a partir de exemplos e usando o método da indução matemática. Vejamos:
\begin{equation*}
2! = 2 \cdot 1 = 2\\
\ \\
3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\\
\ \\
4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=24\\
\ \\
n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
\end{equation*}
Assim, se quisermos calcular $8!$, fazemos:
\begin{equation*}
8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40320
\end{equation*}
Se multiplicarmos e dividirmos um número por um mesmo valor, este número não se altera. Assim  podemos escrevemos a expressão para $5!$ multiplicando convenientemente o membro da direita por $6!$:
\begin{equation*}
5! = \frac{6! \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{6!}\\
\ \\
5! = \frac{6! \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\\
\ \\
5! = \frac{6!}{6}
\end{equation*}
Da mesma, para $6!$, fazemos:
\begin{equation*}
6! = \frac{7! \cdot 6 \cdot 5  \cdot 4 \cdot3 \cdot2 \cdot1}{7!} = \frac{7!}{7}
\end{equation*}
O que nos induz a pensar:
\begin{equation*}
n! = \frac{(n+1)! \cdot n!}{(n+1)!}
\end{equation*}
Mas $(n+1)! = (n+1)\cdot n!$. Substituindo na equação acima, obtemos:
\begin{equation*}
n! = \frac{(n+1)! \cdot n!}{(n+1)\cdot n!}
\end{equation*}
O que nos leva a:
\begin{equation*}
n! = \frac{(n+1)!}{(n+1)}
\end{equation*}
Fazendo $n=0$, obtemos:
\begin{equation*}
0! = \frac{(0+1)!}{(0+1)}=1!=1
\end{equation*}