A definição formal de integral definida envolve a soma de uma quantidade muito grande de termos, tornando-se necessária uma notação especial.
No simbolismo matemático usamos a letra grega maiúscula Sigma, representada pelo glifo $\displaystyle \Sigma$, correspondente à letra latina $S$, e é chamada de Notação Sigma. Não por acaso é a primeira letra da palavra soma, que ajuda a lembrar o propósito da notação sigma, designando a ideia de somatório ou adição.
Quando usamos o símbolo $\displaystyle \sum$, queremos representar a soma de todos os termos que obedecem a uma forma geral. Assim:
\begin{equation*}\sum _{k=m}^n a_k=a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_n
\end{equation*}
Lê-se: A soma de $a_k$, com $k$ assumindo valores que variam de $m$ a $n$.
A variável $k$ é o índice do somatório e designa uma valor inicial chamado limite inferior igual a $m$, assumindo valores inteiros até alcançar o limite superior igual a $n$.
Não necessariamente o índice é representado pela letra $k$. Podemos usar as letras $i$, $j$, $k$, ou outra qualquer dependendo da necessidade, servindo ao mesmo propósito. Então:
\begin{equation*}\sum_{k=1}^N a_k = \sum_{i=1}^N a_i = \sum_{j=1}^N a_j
\end{equation*}
Se quisermos somar os números naturais de $2$ a $6$, por exemplo, escrevemos na notação de somatório:
\begin{equation*}\sum_{k=2}^6 k = 2+3+4+5+6
\end{equation*}
Vejamos outros exemplos específicos na notação sigma:
Exemplo $1$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^5 k^2& = 1^2 + 2^2 +3^2+4^2+5^2\\
&=1+4+9+16+25\\
&=55
\end{aligned}
Esta é a soma dos quadrados dos cinco primeiros números naturais.
Exemplo $2$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^4 2^k &=2^1+2^2+2^3+2^4\\
&=2+4+8+16\\
&=30
\end{aligned}
Esta é a soma das quatro primeiras potências de $2$.
Exemplo $3$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N 2k =2+4+6+\cdots+2N
\end{aligned}
Esta é a soma dos $N$ primeiros números pares.
Exemplo $4$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N (2k-1)=1+3+5+\cdots+(2N-1)
\end{aligned}
Esta é a soma dos $N$ primeiros números ímpares.
Exemplo $5$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N (3^k-3^{k-1})&=(3^1-3^0)+(3^2-3^1)+\cdots+(3^N-3^{N-1})
\end{aligned}
Aqui fazemos uma pequena manipulação:
\begin{aligned}
&=-3^0+(3^1-3^1)+(3^2-3^2)+\cdots +(3^{N-1}-3^{N-1})+3^N\\
&=3^N-3^0=3^N-1
\end{aligned}
Exemplo $6$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^N k &=1+2+3+\cdots+N\\
&= \frac{N(N+1)}{2}
\end{aligned}
Esta é a fórmula para a soma dos $N$ termos de uma $P.A.$ finita.
Podemos ainda fazer o processo inverso: dada uma sequência, vamos encontrar a notação sigma:
Exemplo $7$:
\begin{aligned}
3+9+27+81 = 3^1+3^2+3^3+3^4= \sum_{k=1}^4 3^k
\end{aligned}
Exemplo $8$:
\begin{aligned}
&5+9+13+17+21+15\\
&= 5+(5+4)+(5+8)+(5+12)+(5+16)+(5+20)\\
&= 5+(5+4)+(5+4\cdot 2)+(5+4\cdot 3)+(5+4\cdot 4)+(5+4\cdot 5)\\
&= \sum_{k=0}^5 (5+4k)
\end{aligned}
A Notação Sigma é essencialmente útil para indicar a soma dos termos de uma sequência numérica. Normalmente, quando trabalhamos com sequências, é conveniente começar com um termo de ordem zero: $a_0$. Assim, o segundo termos é $a_1$, o terceiro é $a_2$, e assim por diante. Podemos escrevê-la como $a_0, a_1, a_2, \cdots $. Assim, o k-ésimo termo da sequência é $a_k$ e a soma dos $N$ termos pode ser escrita como:
\begin{equation*}\sum_{k=0}^N a_k=a_0+a_1+a_2+\cdots + a_N
\end{equation*}
Se quisermos somar apenas o terceiro, o quarto e o quinto termos, escrevemos:
\begin{equation*}\sum_{k=2}^4 a_k=a_2+a_3+a_4
\end{equation*}
Propriedades Básicas dos Somatórios
Algumas propriedades básicas dos somat´rios podem ser estabelecidas. Consideremos que $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_N$ e $b_0, b_1, b_2, \cdots , b_N$, representam sequências de números e seja $A, B,C$ números constantes.
$P1)$ Propriedade da Constante
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N C= NC
\end{equation*}
$P2)$ Propriedade da Homogenidade
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N Ca_k = C\sum_{k=1}^N a_k
\end{equation*}
$P3)$ Propriedade Aditiva
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \left(a_k+b_k\right)=\sum_{k=1}^N a_k + \sum_{k=1}^N b_k
\end{equation*}
$P4)$ Propriedade Linear
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \left(Aa_k + Bb_k\right) = A\sum_{k=1}^N a_k + B\sum_{k=1}^N b_k
\end{equation*}
$P5)$ Desigualdade Triangular Generalizada
\begin{equation*}
\left| \sum_{k=1}^N a_k \right| \leq \sum_{k=1}^N \left| a_k \right|
\end{equation*}
$P6)$ Propriedade Telescópica
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \left(b_k - b_{k-1}\right) = b_N - b_0
\end{equation*}
$P7)$ Soma de uma Sequência Aritmética
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N \left(A+Ck\right) = \left(N+1\right)\left(A+\frac{NC}{2}\right)
\end{equation*}
$P8)$ Soma de uma Sequência Geométrica
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N AC^k = A\left(\frac{1-C^{N+1}}{1-C}\right), \qquad C\neq 1
\end{equation*}
$P9)$ Soma dos Inteiros Sucessivos
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k = \frac{N(N+1)}{2}
\end{equation*}
$P10)$ Soma dos Quadrados Sucessivos
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}
\end{equation*}
$P11)$ Soma dos Cubos Sucessivos
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k^3 = \frac{N^2(N+1)^2}{4}
\end{equation*}
Exemplos usando as propriedades básicas dos somatórios:
Exemplo $9$:
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{20} \left(2k^2-3k+1\right)
\end{aligned}
Usamos a propriedade $P4)$:
\begin{equation*}
= \sum_{k=1}^{20} 2k^2+\sum_{k=1}^{20}(-3k)+\sum_{k=1}^{20} 1
\end{equation*}
Agora, usamos as propriedades $P1)$ e $P1)$:
\begin{equation*}
2\sum_{k=1}^{20} -3\sum_{k=1}^{20}k + 20
\end{equation*}
Agora usamos a propriedade $P10)$ no primeiro somatório e a $P9)$ no segundo:
\begin{matrix}=\frac{2(20)(21)(41)}{6}-\frac{3(20)(21)}{2}+20\\
=5740-630+20\\
=5130
\end{matrix}
Exemplo $10$:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N k^2(5k+1)
\end{equation*}
\begin{matrix}
=\sum_{k=1}^N5k^3+\sum_{k=1}^N k^2\\
=5\left(\frac{N^2(N+1)^2}{4}\right) + \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\
= \frac{5N^2(N+1)^2}{4} + \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\
=N(N+1)\left(\frac{5N(N+1)}{4}+\frac{(2N+1}{6}\right)\\
=N(N+1)\left(\frac{15N(N+1)+2(2N+1)}{12}\right)\\
=\frac{N(N+1)(15N^2+15N)+2N+2}{12}\\
=\frac{(N^2+N)(15N^2+15N)+2N+2}{12}\\
=\frac{15N^4+15N^3+15N^3+15N^2+2N+2}{12}\\
=\frac{15N^4+30N^3+15N^2+2N+2}{12}\\
=\frac{15N^2(N^2+2N+1)+2(N+1)}{12}
\end{matrix}
Exemplo $11$:
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^N \frac{1}{2^k}
\end{equation*}
Usando a propriedade $P8)$:
\begin{equation*}
=\sum_{k=0}^N \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{N+1}}{1-\frac{1}{2}} = 2-\frac{1}{2^N}
\end{equation*}
Exemplo $12$: Encontre a soma dos $100$ primeiros inteiros ímpares.
Pela propriedade $P7)$, fazemos $A=1$, $C=2$, $N=99$:
\begin{matrix}
\sum_{k=0}^{99} (1+2k)=1+3+5+\cdots +199\\
=100\left(1+\frac{99(2)}{2}\right)\\
=10.000
\end{matrix}
A Área sob uma Parábola
Este é um bom exemplo para aplicarmos a notação sigma. Calculemos a área $A$ sob a parábola $y=x^2$ entre $x=0$ e $x=1$.
Usando o conceito de integral definida, obtemos:
\begin{equation*}A=\int_0^1 x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3} u.a.
\end{equation*}
Agora, usemos a notação sigma. Considere a figura abaixo:
\left[0,\frac{1}{N}\right] ,\left[\frac{1}{N},\frac{2}{N}\right] , \left[\frac{2}{N},\frac{3}{N}\right],\cdots ,\left[\frac{N-1}{N},\frac{N}{N}\right]
\end{equation*}
Vejam que o k-ésimo intervalo é:
\begin{equation*}
\left[\frac{k-1}{N},\frac{k}{N}\right]
\end{equation*}
Em cada subintervalo, podemos formar um retângulo circunscrito à curva, cuja altura do k-ésimo retângulo é $\displaystyle \left(\frac{k}{N}\right)^2$ e sua área é $\displaystyle \frac{1}{N}\cdot \left(\frac{k}{N}\right)^2$.
Podemos obter uma estimativa para a área $A$ somando as áreas dos $N$ retângulos circunscritos:
\begin{equation*}A\approx \sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k}{N}\right)^2
\end{equation*}
E pela fórmula para a soma dos quadrados sucessivos:
\begin{equation*}\sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k}{N}\right)^2 = \sum_{k=1}^N \left(\frac{1}{N^3}\right)k^2 = \left(\frac{1}{N}\right)^3 \sum_{k=1}^N k^2 = \frac{1}{N^3} \left( \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\right) = \frac{(N+1)(2N+1)}{6N^2}
\end{equation*}
Aplicando a distributiva no numerador, segue que:
\begin{equation*}A\approx \frac{1}{3}+\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Como os retângulos são circunscritos à curva e somente aproximam a área, então:
\begin{equation*}A \leq \frac{1}{3} + \frac{1}{2N} + \frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Utilizemos agora, retângulos inscritos à mesma curva no mesmo intervalo, com os mesmos $N$ subintervalos:
Notamos que a altura do k-ésimo retângulo inscrito é $\displaystyle \left(\frac{k-1}{N}\right)^2$ e sua área é $\displaystyle \frac{1}{N}\left(\frac{k-1}{N}\right)^2$.
Novamente podemos obter uma estimativa para a área $A$, somando asáreas dos $N$ retângulos inscritos:
\begin{matrix}A\approx \sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k-1}{N}\right)^2\\
=\frac{1}{N^3}\sum_{k=1}^N (k^2-2k+2)\\
=\frac{1}{N^3}\left(\sum_{k=1}^N k^2-2\sum_{k=1}^Nk+\sum_{k=1}^N\right)\\
=\frac{1}{N^3}\left(\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}-\frac{2N(N+1)}{2}+N\right)\\
=\frac{2N^2-3N+1}{6N^2}
\end{matrix}
Então, a área vale aproximadamente:
\begin{equation*}A\approx \frac{1}{3}-\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Como os retângulos são inscritos à curva e somente aproxima a área, então:
\begin{equation*} A\geq \frac{1}{3}-\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}
\end{equation*}
Deste modo, a área $A$ sob a curva, tem que estar entre as duas estimativas encontradas, de modo que:
\begin{matrix}\frac{1}{3}-\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}\leq A \leq \frac{1}{3}+\frac{1}{2N}+\frac{1}{6N^2}\\
\sum_{k=1}^N\frac{1}{N}\left(\frac{k-1}{N}\right)^2 \leq A \leq \sum_{k=1}^N \frac{1}{N}\left(\frac{k}{N}\right)^2
\end{matrix}
À medida que $N$ aumenta, ambas as estimativas se aproximam de um valor, tendo $1/3$ como limite. Como a área $A$ está entre as duas estimativas, podemos nos aproximar o quanto desejarmos do valor limite $1/3$, tomando cada vez mais subintervalos. Quando o número de subintervalos tende ao infinito, a área $A$ sob a curva $f(x)=x^2$, no intervalo $[0,1]$ tende a ser igual a $1/3$.
Exercícios: Desenvolva os somatórios
\begin{aligned}
&a) \: \sum_{k=1}^6 (2k+1)\\
&b) \: \sum_{k=3}^7 \frac{k}{k-2}\\
&c) \: \sum_{k=-1}^3 3^k\\
&d) \: \sum_{k=1}^{50}(2k+3)\\
&e) \: \sum_{k=1}^N k(k+1)\\
&f) \: \sum_{k=6}^{100}k^2\\
&g) \: \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}
\end{aligned}
Referências:
$[1]$ Cálculo V1 - Munem-Foulis
$[2]$ Cálculo com Geometria Anaçítica V1 - Simmons
Veja mais:
A Soma de Gauss
O Cálculo Integral: O Cálculo das Áreas
A Notação Sigma para Somatórios no blog Fatos Matemáticos
