Teorema do Quadrilátero Inscritível

Um quadrilátero está inscrito numa circunferência se seus vértices são pontos desta circunferência.

Teorema:

Se um quadrilátero é inscritível numa circunferência, então os ângulos opostos são suplementares.

Por hipóteses temos que o quadrilátero $ABCD$ está inscrito na circunferência $\lambda$. Em tese temos que:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
\alpha & + & \gamma & = & 180^\circ\\
\beta & + & \delta & = & 180^\circ
\end{matrix}\right.
\end{equation}

Demonstração:

Pelo teorema do ângulo inscrito, temos que o ângulo $\alpha$ é igual à metade do arco $\widehat{BCD}$:
\begin{equation}
\alpha=\frac{\widehat{BCD}}{2}
\end{equation}

Analogamente temos que o ângulo $\gamma$ é igual à metade do arco $\widehat{DAB}$:
\begin{equation}
\gamma = \frac{\widehat{DAB}}{2}
\end{equation}
Assim:
\begin{equation}
\left.\begin{matrix}
\alpha & = & \frac{\widehat{BCD}}{2}\\
\gamma& = & \frac{\widehat{DAB}}{2}
\end{matrix}\right\}
\Rightarrow \alpha + \gamma = \frac{\widehat{BCD}+\widehat{DAB}}{2}=\frac{360^\circ}{2}=180^\circ
\end{equation}Analogamente provamos que $\beta + \delta = 180^\circ$, ou ainda observando que como a soma dos ângulos internos de uma quadrilátero é igual a $360^\circ$, segue que $\beta + \delta = 180^\circ$.

Exemplos:

$a)$ Calcule o valor de $\alpha$:

Sabemos que $\alpha + 72^\circ = 180^\circ$. Então $\alpha = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

$b)$ Calcule o valor de $\alpha$:


 Como $\alpha + 110^\circ = 180^\circ$, então $\alpha = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

$c)$ Calcule o valor de $\alpha$:


Sabemos que $112^\circ + \gamma = 180^\circ$. Então, $\gamma = 68^\circ$. Por outro lado, $\alpha + \gamma = 180^\circ$. Substituindo o valor de $\gamma$, obtemos: $\alpha = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$.

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce & Nicolau Pompeo

Veja mais:

➊ Organograma dos Quadriláteros Notáveis
➋ Teorema do Ângulo Inscrito
➌ Quadriláteros Notáveis