Todos os $110$ problemas contidos nos papiros de Moscou e Rhind são numéricos, sendo alguns de origem prática e outros teóricos.
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Basicamente a multiplicação era efetuada por uma sucessão de duplicações de um fator e o outro fator dado por uma soma de potências de base $2$. O fato é que podemos expressar qualquer número como uma soma de potências de $2$. Como por exemplo o número $5=2^2+2^0$ e o número$19=2^4+2^1+2^0$.
O que os egípcios faziam era encontrar uma combinação das potências de $2$ de modo a obter um dos fatores da multiplicação desejada.
Em uma das colunas, dispunham os números de base $2$ até o número imediatamente inferior a um dos fatores. Na outra coluna escreviam duplicações do segundo fator. Na coluna das potências de $2$, identificavam as potências cuja soma seria igual a um dos fatores e somavam as duplicações correspondentes da outra coluna, encontrando o produto desejado.
Vejamos a seguir alguns exemplos.
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Paramos no número $16$ porque o próximo número da sequência é o $32$, que é maior do que o fator $26$. Na outra coluna escrevemos duplicações do segundo fator:
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Como $26=16+8+2$, basta somarmos os múltiplos correspondentes de $41$ na outra coluna:
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Assim:
\begin{equation*}
26 \times 41 = 82 + 328 + 656 = 1066
\end{equation*}
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Paramos no $64$ porque o próximo número da sequência é o $128$, que é maior do que o fator $112$. Na outra coluna escrevemos duplicações do segundo fator:
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Como $112 = 64 + 32 + 16$, basta somarmos os múltiplos correspondentes de $173$ na outra coluna:
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Assim:
\begin{equation*}
112 \times 173 = 2768 + 5536 + 11072 = 19376
\end{equation*}
Os egípcios usavam hieróglifos para representar números em base $10$:
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Vejamos como ficaria uma multiplicação egípcia com seus hieróglifos.
Os números $17$ e $23$ são representados assim pelos hieróglifos egípcios:
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Tomemos o número $17$ na primeira coluna. Colocamos os hieróglifos nas potências de base $2$:
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As duplicações de $23$ são: $46$, $92$, $184$, $368$. Escrevemos na segunda coluna os hieróglifos correspondentes:
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Como $17=16+1$, basta somarmos os múltiplos correspondentes de $23$ na outra coluna:
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Assim, $17 \times 23 = 368 + 23 = 391$. Escritos em hieróglifos:
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Uma observação interessante é que esta soma final assemelha-se ao que fazemos no ábaco. Pois quando somamos $3$ hastes com $8$ hastes, obtemos $11$ hastes. Então, trocamos $10$ hastes por $1$ arco de cesto e mantemos uma haste.
[2] Hieróglifos retirados do site http://discoveringegypt.com
Método da multiplicação dos camponeses russos
Método da gelosia para multiplicações
Método da falsa posição
Frações unitárias
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Basicamente a multiplicação era efetuada por uma sucessão de duplicações de um fator e o outro fator dado por uma soma de potências de base $2$. O fato é que podemos expressar qualquer número como uma soma de potências de $2$. Como por exemplo o número $5=2^2+2^0$ e o número$19=2^4+2^1+2^0$.
O que os egípcios faziam era encontrar uma combinação das potências de $2$ de modo a obter um dos fatores da multiplicação desejada.
Em uma das colunas, dispunham os números de base $2$ até o número imediatamente inferior a um dos fatores. Na outra coluna escreviam duplicações do segundo fator. Na coluna das potências de $2$, identificavam as potências cuja soma seria igual a um dos fatores e somavam as duplicações correspondentes da outra coluna, encontrando o produto desejado.
Vejamos a seguir alguns exemplos.
Exemplo $1$: Encontrar o produto de $26$ por $41$
Primeiramente, escolhemos qual dos dois fatores será representado na coluna das potências de $2$. Tomemos o número $26$, mas também poderia ser o número $41$.
Paramos no número $16$ porque o próximo número da sequência é o $32$, que é maior do que o fator $26$. Na outra coluna escrevemos duplicações do segundo fator:
Como $26=16+8+2$, basta somarmos os múltiplos correspondentes de $41$ na outra coluna:
Assim:
\begin{equation*}
26 \times 41 = 82 + 328 + 656 = 1066
\end{equation*}
Exemplo $2$: Encontrar o produto de $112$ por $173$
Tomemos o número $112$ para ser representado na coluna das potências de $2$
Paramos no $64$ porque o próximo número da sequência é o $128$, que é maior do que o fator $112$. Na outra coluna escrevemos duplicações do segundo fator:
Como $112 = 64 + 32 + 16$, basta somarmos os múltiplos correspondentes de $173$ na outra coluna:
Assim:
\begin{equation*}
112 \times 173 = 2768 + 5536 + 11072 = 19376
\end{equation*}
Os egípcios usavam hieróglifos para representar números em base $10$:
Vejamos como ficaria uma multiplicação egípcia com seus hieróglifos.
Exemplo $3$: Encontrar o produto de $17$ por $23$
Os números $17$ e $23$ são representados assim pelos hieróglifos egípcios:
Tomemos o número $17$ na primeira coluna. Colocamos os hieróglifos nas potências de base $2$:
As duplicações de $23$ são: $46$, $92$, $184$, $368$. Escrevemos na segunda coluna os hieróglifos correspondentes:
Como $17=16+1$, basta somarmos os múltiplos correspondentes de $23$ na outra coluna:
Assim, $17 \times 23 = 368 + 23 = 391$. Escritos em hieróglifos:
Uma observação interessante é que esta soma final assemelha-se ao que fazemos no ábaco. Pois quando somamos $3$ hastes com $8$ hastes, obtemos $11$ hastes. Então, trocamos $10$ hastes por $1$ arco de cesto e mantemos uma haste.
Referências:
[1] Introdução à História da Matemática - Howard Eves - Ed. Unicamp[2] Hieróglifos retirados do site http://discoveringegypt.com
Veja mais:
Método da multiplicação dos camponeses russos
Método da gelosia para multiplicações
Método da falsa posição
Frações unitárias
