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Veremos neste artigo como calcular as medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer em função de seus lados através de fórmulas de radicais aninhados.
Dado um triângulo $\triangle ABC$, de lados $a$, $b$, $c$. Os ângulos internos $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ podem ser calculados com ótima aproximação através das fórmulas:
$$\alpha \approx \frac{180 \cdot 2^5}{\pi} \ \sqrt{2- \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{bc}}}}}}} \tag{1}
$$
$$
\beta \approx \frac{180 \cdot 2^5}{\pi} \ \sqrt{2- \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+c-b)}{ac}}}}}}} \tag{2}
$$
$$
\gamma \approx \frac{180 \cdot 2^5}{\pi} \ \sqrt{2- \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{ab}}}}}}} \tag{3}
$$
Demonstração
O método consiste em criar uma circunferência centrada em um dos vértices do triângulo $\triangle ABC$ com raio igual a um dos lados adjacentes ao ângulo. Na figura abaixo, o centro está localizado no vértice $A$ e o raio da circunferência é igual ao lado $b$.
[Figura 2: ângulos de um triângulo]
Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo $\triangle ABC$, o $\cos (\alpha)$, em função dos lados $a$, $b$ e $c$, é dado por:
$$\cos(\alpha) = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \tag{4}
$$
Se o comprimento do arco $\widehat{CP}$ for conhecido, poderemos encontrar $\alpha$ em graus utilizando a seguinte proporção: O produto do raio $b$ por $\pi$ está para $180^\circ$, assim como o arco $\widehat{CP}$ está para o ângulo $\alpha$:
\frac{\pi b}{180^\circ} = \frac{\widehat{CP}}{\alpha} \tag{5}
$$
Traçando um segmento de reta que inicia-se no vértice $C$ e prolonga-se até o ponto $P$, como mostrado na figura abaixo:
[Figura 3: Ângulos de um triângulo]
No triângulo $\triangle ACP$, o comprimento $x$ pode ser obtido pela Lei dos Cossenos, sendo assim, podemos substituir $\widehat{CP}$ por $x$ na relação $(5)$. Portanto, agora somos capazes de calcular a medida de $\alpha$, embora seja uma aproximação ruim, uma vez que o arco $\widehat{CP}>x$:
$$\frac{\pi b}{180^\circ} = \frac{x}{\alpha} \tag{6}
$$
Isolando o ângulo $\alpha$:
$$\alpha = \frac{180^\circ \cdot x}{\pi b} \tag{7}
$$
A segunda parte do método consiste em reduzir o segmento $x$ até coincidir com uma pequena parte do arco $\widehat{CP}$. Desse modo, obteremos $\alpha$ com uma boa precisão. No entanto, para que o método funcione é necessário que o novo ângulo tenha relação direta com $\alpha$. Há uma identidade trigonométrica que relaciona o ângulo com a sua metade, conhecida como a fórmula do cosseno do arco metade, assim, poderemos reduzir o comprimento de $x$ ao mesmo tempo que dividimos ao meio o ângulo $\alpha$:
[Figura 4: 1ª iteração]
\cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \pm \sqrt{\frac{1+\cos (\alpha)}{2}} \tag{8}
$$
A relação $(8)$ fornece duas opções:
$$
\cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{\frac{1+\cos (\alpha)}{2}} \tag{9}
$$
$$
\cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) = - \sqrt{\frac{1+\cos (\alpha)}{2}} \tag{10}
$$
A relação $(10)$ não utilizaremos. Por que? A divisão ao meio de qualquer ângulo de um triângulo está limitado ao primeiro quadrante, de modo que $\displaystyle 0< \frac{\alpha}{2} < 90^{\circ}$, portanto, temos que $\displaystyle \cos \left( \frac{\alpha}{2}\right) > 0$. Como conhecemos o cosseno de $\alpha$ pela relação $(4)$, poderemos substituí-lo em $(9)$:
$$\cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{1+\displaystyle \left( \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right)}{2}} \tag{11}
$$
Simplificando o radicando:
$$\cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{ \frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{4bc} }\tag{12}
$$
$$
\cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{(b+c)^2-a^2}{4bc}} \tag{13}
$$
$$
\cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}} \tag{14}
$$
Dividindo o ângulo $\displaystyle \frac{\alpha}{2}$ ao meio, obtemos:
[Figura 5: 2ª iteração]
\cos \left(\frac{\alpha}{4}\right) = \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{2}} \tag{15}
$$
Substituindo $(14)$ em $(15)$, obtemos:
$$\cos \left(\frac{\alpha}{4}\right) = \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}{2}} \tag{16}
$$
Dividindo o ângulo $\displaystyle \frac{\alpha}{4}$ ao meio:
[Figura 6: 3ª iteração]
$$
\cos \left(\frac{\alpha}{8}\right) = \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\cos \left(\frac{\alpha}{4}\right)}{2}} \tag{17}
$$
\cos \left(\frac{\alpha}{8}\right) = \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\cos \left(\frac{\alpha}{4}\right)}{2}} \tag{17}
$$
Substituindo $(16)$ em $(17)$, obtemos:
$$\cos \left(\frac{\alpha}{8}\right) = \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}{2}}}{2}} \tag{18}
$$
Dividindo o ângulo $\displaystyle \frac{\alpha}{8}$ ao meio:
[Figura 7: 4ª iteração]
\cos \left(\frac{\alpha}{16}\right) = \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\cos \left(\frac{\alpha}{8}\right)}{2}} \tag{19}
$$
Substituindo $(18)$ em $(19)$, obtemos:
$$\cos \left(\frac{\alpha}{16}\right) = \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}{2}}}{2}}}{2}} \tag{20}
$$
Dividindo o ângulo $\displaystyle \frac{\alpha}{16}$ o meio:
[Figura 8: 5º iteração]
Com $5$ iterações, o comprimento de $x_5 \approx \widehat{CQ}$. Vamos parar por aqui:
$$\cos \left(\frac{\alpha}{32}\right) = \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\cos \left(\frac{\alpha}{16}\right)}{2}} \tag{21}
$$
Substituindo $(20)$ em $(21)$, obtemos:
$$\cos \left(\frac{\alpha}{32}\right) = \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}{2}}}{2}}}{2}}}{2}} \tag{22}
$$
Pela lei dos cossenos, o comprimento de $x_5$ é igual a:
$$x_5^2 = b^2+b^2-2\cdot b \cdot b \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{32}\right) \tag{23}
$$
$$
x_5^2 = 2b^2 - 2b^2\ \cos\left(\frac{\alpha}{32}\right) \tag{24}
$$
Substituindo $(22)$ em $(24)$:
$$x_5^2 = 2b^2 - 2b^2 \cdot \left( \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}{2}}}{2}}}{2}}}{2}}\right) \tag{25}
$$
$$
x_5^2 = b^2 \left( 2-2\cdot\left( \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}{2}}}{2}}}{2}}}{2}}\right)\right) \tag{26}
$$
Extraindo a raiz em ambos os membros da igualdade, obtemos:
$$x_5 = \sqrt{ b^2 \left( 2-2\cdot\left( \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}{2}}}{2}}}{2}}}{2}}\right)\right)} \tag{27}
$$
$$
x_5 = b \cdot \sqrt{ 2-2\cdot \sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}{2}}}{2}}}{2}}}{2}}} \tag{28}
$$
O número $2$ a direita do sinal de menos pode adentrar ao radical a sua direita como $4$, já que é uma raiz quadrada. Obtendo:
$$x_5 = b \cdot \sqrt{ 2-\sqrt{\frac{\displaystyle 4+4\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}{2}}}{2}}}{2}}}{2}}} \tag{29}
$$
$$
x_5 = b \cdot \sqrt{ 2-\sqrt{\displaystyle 2+2\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\sqrt{\frac{\displaystyle 1+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}{2}}}{2}}}{2}}}} \tag{30}
$$
Vamos repetir esse processo até alcançar o último radical:
$$x_5 = b \cdot \sqrt{ 2-\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\displaystyle \sqrt{\frac{4(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}}}}} \tag{31}
$$
$$
x_5 = b \cdot \sqrt{ 2-\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{bc}}}}}}} \tag{32}
$$
Como $x_5 \approx \widehat{CQ}$, logo, o produto do raio $b$ por $\pi$ está para $180^\circ$, assim como o comprimento $x_5$ está para $\displaystyle \frac{\alpha}{32}$:
$$\frac{\pi b}{180^\circ} = \frac{\widehat{CQ}}{\displaystyle \frac{\alpha}{32}} \approx \frac{x_5}{\displaystyle \frac{\alpha}{32}} \tag{33}
$$
$$
\frac{ \alpha}{32} \approx \frac{180^\circ}{\pi b} \cdot x_5 \tag{34}
$$
$$
\alpha \approx \frac{180^\circ \cdot 32}{\pi b} \cdot x_5 \tag{35}
$$
Como conhecemos $x_5$, dado em $(32)$, basta substituí-lo em $(35)$:
$$\alpha \approx \frac{180^\circ\cdot 32 \cdot b \cdot \sqrt{ 2-\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{bc}}}}}}}}{\pi b} \tag{36}
$$
$$
\alpha \approx \frac{180^\circ\cdot 2^5}{\pi} \cdot \sqrt{ 2-\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\displaystyle \sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{bc}}}}}}} \tag{37}
$$
Exemplo 1:
O triângulo $\triangle ABC$ abaixo foi criado utilizando o software Geogebra, cujos lados medem: $b=5$, $a=3,859578650443242$ e $c=3,296562835249749$, o ângulo formado entre os lados $b$ e $c$ é igual a $\alpha = 50,49490712462559^\circ$.
[Figura 9: ângulos de um triângulo]
Aplicando a fórmula dada em $(37)$, obtemos um valor com precisão de $2$ casas decimais:
$$\alpha \approx \frac{180^\circ\cdot 2^5}{\pi} \cdot \sqrt{ 2-\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\sqrt{\displaystyle 2+\displaystyle \sqrt{3,27229361103}}}}}} \tag{38}
$$
$$
\alpha \approx 50,49331131106^\circ \tag{39}
$$
Exemplo 2:
O triângulo $\triangle ABC$ abaixo, possui lados medindo $a=3,051370289408014$, $b=3,517153011832249$ e $c=6,568523301240263$. O ângulo formado entre os lados $a$ e $b$ é igual a $179,99999998007129^\circ$.
[Figura 10: Ângulos de um triângulo]
Aplicando a fórmula dos radicais aninhados para obter o ângulo $\gamma$, temos como resultado $179,92772156694144^\circ$. Quando o ângulo tende a $180^\circ$, a fórmula com apenas $5$ iterações retorna um valor com precisão de uma casa decimal. Sendo assim, quanto maior o expoente de $2$ e o número de radicais à direita do sinal de menos, podemos obter ângulos cada vez mais precisos. No triângulo acima, aplicando a fórmula para $7$ iterações, obtemos $\gamma=179,9954820876601^\circ$ e para $10$ iterações, obtemos $\gamma=179,99992940672044^\circ$.
Generalização da fórmula
Note que a quantidade de radicais aninhados a direita do sinal de menos é exatamente o número de iterações que efetuamos.
[Figura 11: ângulo de um triângulo]
A cada iteração, fatiamos o ângulo $\alpha$ em $2$ elevado ao número de iterações que efetuamos.
[Figura 12: Iterações]
Generalizando para uma quantidade $n$ de iterações:
[Figura 13: O ângulo $\alpha$]
Analogamente, podemos repetir o procedimento acima para encontrarmos os ângulos $\beta$ e o ângulo $\gamma$.
[Figura 14: O ângulo $\beta$]
[Figura 15: O ângulo $\gamma$]
O radicando mais interno é a razão entre o produto do perímetro pela soma dos lados adjacentes ao ângulo menos o lado oposto ao ângulo, e o produto dos lados adjacentes ao ângulo.
[Figura 16: Ângulos de um triângulo]
O autor
- Este artigo foi elaborado por Rodrigo da Costa Moreira, licenciado em Matemática pelo Instituto Federal do Piauí - IFPI - Campus Uruçuí.
- Contato: https://twitter.com/rodrigo_cstm
Links para este artigo:
- https://bit.ly/formula-radicais-aninhados
- https://www.obaricentrodamente.com/2023/06/formula-para-calcular-as-medidas-dos-angulos-internos-de-um-triangulo-qualquer-em-funcao-de-seus-lados.html
