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O eclipse solar total de 12 de maio de 1706

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O eclipse solar total que ocorreu em 12 de maio de 1706 foi de grande interesse para os geógrafos que confiavam em cálculos astronômicos para produzir mapas terrestres, porque foi o primeiro a ser objeto de mapas preditivos, tornando-se um ponto de referência para a cartografia.

O eclipse teve início no meio do Atlântico e terminou ao pôr do Sol na Sibéria, Coreia e China. Pôde ser observado em toda a Europa, na Ásia, incluindo a maior parte do Oriente Médio, em quase toda a Sibéria, no norte e oeste da África, no nordeste da América do Norte e parte do Atlântico. Uma porção muito pequena ocorreu no hemisfério sul, quase inteiramente sobre o oceano. Na Europa, muitas estrelas puderam ser observadas a olho nu, tais como Aldebarã e Capella, assim como os planetas Vênus, Mercúrio e Saturno.

A porção umbral que chegava a 242 km, atravessando áreas que ficavam a noroeste da ilha cabo-verdiana de Santo Antão (então uma colônia portuguesa) no Atlântico, as Ilhas Canárias controladas pelos espanhóis, Marrocos, Espanha, França, Suíça, Polônia, São Petersburgo na Rússia, incluindo parte do norte russo como Samoieda e Iacutusque e até a Manchúria. O maior umbral ocorreu na área entre a Saxônia e a Baixa Silésia (Polônia) às 9h35 e durou mais de 4 minutos.
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$\rightarrow$ Clique aqui para ver em alta resolução e interagir com o mapa.

O eclipse mostrou obscurecimento de até 50% em Burkina Faso, na Líbia, Ancara, capital da Turquia e em uma parte da Mongólia e, do outro lado, no noroeste das ilhas e na costa leste da Groenlândia. O obscurecimento foi de 75% em lugares como Noruega, Lapônia e Zemlya e do outro lado em torno de Bissau, Siracusa na Sicília e Bucareste. Os lugares que apresentavam 25% de obscurecimento do Sol incluíam o Reino do Benin, o Egito e a Babilônia no Iraque. As áreas que estavam na borda do eclipse incluíam Gabão, Darfur, Núbia, o norte da Península Arábica, Pérsia, o Império Arghan, Nepal, Assam e Yunnan controlado pela Manchúria.

O evento causou grande comoção nas pessoas. Diz-se que em Genebra, o Conselho interrompeu suas deliberações devido à escuridão causada pelo eclipse, não sendo possível ler nem escrever. Em diversos lugares as pessoas se prostravam no chão e rezavam, imaginando ser o Juízo Final. Além disso, diversos animais apresentaram mudanças no comportamento sensíveis às mudanças do céu. Morcegos voavam, galinhas e pombos voltavam para seus ninhos, aves de gaiola ficaram silenciosas e animais que trabalhavam nos campos se aquietaram.

Este eclipse ocorreu durante a Guerra de Sucessão Espanhola, atravessando os territórios da Espanha, França e norte da Itália e foi visto na época como uma metáfora e um sinal premonitório do declínio do Rei Luis XIV da França, conhecido como Rei Sol, sendo ocultado pela Grande Aliança.

Esse evento astronômico fez parte do Ciclo de Saros 133é um fenômeno astronômico e foi observado pelos babilônios a milhares de anos e possui um período de 223 meses sinódicos, ou seja, 6.585,321 dias, ou ainda 18 anos, 10, 11 ou 12 dias (dependendo de quantos anos bissextos ocorrerem) e 8 horas. Um mês sinódico é o intervalo de tempo médio entre duas fases iguais consecutivas da Lua, com duração de aproximadamente 29,5 dias (29 dias, 12 horas, 44 minutos e 3 segundos).

O Ciclo de Saros 133

Quando ocorre um eclipse de um Ciclo de Saros 133, após 223 meses, o Sol, a Lua e a Terra retornam aproximadamente à mesma geometria relativa, quase uma linha reta, e um eclipse quase idêntico ocorre.

O primeiro registro histórico descoberto do que é conhecido como saros foi feito por astrônomos caldeus (neobabilônicos) nos últimos séculos AC. Mais tarde foi conhecido por Hiparco, Plínio e Ptolomeu.

O nome "Saros" foi dado ao ciclo de eclipses por Edmond Halley em 1686. A palavra grega aparentemente vem da palavra babilônica "sāru", que significa o número "3600" ou do verbo grego "saro" que significa "varredura", o que faria mais sentido.
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O último eclipse solar do Ciclo de Saros 133 ocorreu em 13 de novembro de 2012 visível na Austrália e no sul do Pacífico.

O próximo eclipse solar de Saros 133 ocorrerá em 25 de novembro de 2030, O eclipse poderá ser observado em sua totalidade em Botsuana, África do Sul e Austrália, e parcialmente ao sul do Oceano Índico, nordeste da Antártida, passando pela Austrália.

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Animação dos eclipses pertencentes ao Ciclo de Saros 133

A lista com os 72 eclipses catalogados no Ciclo de Saros 133 pode ser lida aqui.


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A teoria da gravidade no mundo islâmico medieval

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A valorização e o reconhecimento da ciência variam em diferentes regiões e culturas, e a história da ciência é marcada por contribuições significativas de várias partes do mundo. Quando estudamos no ensino fundamental e médio, aprendemos muito superficialemtne sobre o desenvolvimento científico fora da Europa. Muitas civilizações, incluindo aquelas no Oriente e no Oriente Médio, fizeram contribuições notáveis para o conhecimento científico ao longo da história.

Entre os séculos VIII e XIII, o mundo islâmico experimentou uma Idade de Ouro, durante a qual houve avanços significativos em várias disciplinas, incluindo matemática, astronomia, medicina e filosofia. Centros de aprendizado, como a Casa da Sabedoria em Bagdá, foram importantes na preservação e tradução de textos antigos e na geração de novo conhecimento.

Atualmente, há um esforço crescente para reconhecer e valorizar as contribuições científicas de diversas culturas. Instituições de pesquisa, tanto no Oriente quanto no Ocidente, frequentemente buscam colaborações internacionais para promover o intercâmbio de conhecimento.

Conferências científicas globais e publicações científicas agora incluem trabalhos de cientistas de todo o mundo, refletindo uma abordagem mais inclusiva para o avanço do conhecimento.

Embora o eurocentrismo ainda tenha sido uma característica proeminente na narrativa histórica da ciência, os esforços estão sendo feitos para corrigir essa visão, reconhecendo a diversidade e a riqueza das contribuições científicas de várias culturas e regiões. O diálogo global e a colaboração científica são fundamentais para uma compreensão mais completa e justa do papel de todas as culturas na construção do conhecimento científico.

A física no Islamismo medieval abrange as áreas da física experimental, física matemática e física teórica. Os campos da física que foram estudados por cientistas muçulmanos durante essa época compreendiam também óptica e magnetismo (que hoje fazem parte do eletromagnetismo), mecânica (incluindo estática, dinâmica, cinemática e os movimentos) e astrofísica. Tais estudos floresceram no mundo islâmico durante a Idade de Ouro do Islã, que foi do século VIII ao XIII.

Bagdá foi um lugar onde oniscientes muçulmanos e estudiosos de diferentes regiões estiveram presentes e começaram a traduzir o conhecimento clássico mundialmente conhecido para as línguas aramaica e árabe. Durante este período, a terra histórica do Islã esteve sob o domínio dos califas e é caracterizada pelas invenções da Idade de Ouro Islâmica e pela expansão da ciência, economia e cultura.

Muitos cientistas, filósofos e estudiosos foram importantes na tradução e preservação de textos antigos, pois traduziram muitos textos científicos e filosóficos gregos e indianos para o árabe. Esse esforço de tradução desempenhou um papel vital na preservação do conhecimento antigo e na posterior transferência desse conhecimento para a Europa.

Al-Ḥasan Ibn al-Haytham (Alhazen) (965-1040) nascido no Iraque, foi um dos notáveis cientistas islâmicos, contribuindo significativamente para a óptica e fequentemente é chamado de "o pai da óptica experimental". Escreveu extensivamente sobre a refração da luz, a formação de imagens e a natureza da visão.

Séculos depois, em 1704, Isaac Newton publicaria sua intitulada Óptica, tratando sobre a natureza da luz, como reflexões, refrações, inflexões e cores da luz. No entanto, não há evidências que Newton tenha plagiado a obra de Ibn al-Haytham.

Nasir al-Din al-Tusi (Naceradim de Tus) (1201-1274) nascido na Pérsia, contribuiu para várias áreas da ciência, incluindo arquitetura, biologia, química, medicina, matemática, astronomia e física, propondo uma teoria sobre o movimento planetário que anteciparia a teoria heiocêntrica de Copérnico.

Longe de ser uma teorização iniciada com Newton, no século XI o polímata persa Ibn Sina (Avicena) (980-1037) nascido em Bucara, atual Uzbequistão, apesar de ser mais conhecido por suas contribuições à medicina e filosofia, também fez contribuições à física. Ibn Sina já havia expandido a teoria gravitacional do grego Filopono, e corrigido suas noções, sobre a gravidade e movimentação de projéteis.
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Outro polímata persa do século XI, Al-Biruni (Albiruni) (973-1048) nascido em Beruni, Uzbequistão, estudou sobre a teoria da gravidade, especialmente no contexto da queda dos corpos, antecipando as ideias de Galileu e Newton em alguns séculos. Propôs que os corpos celestes têm massa, peso e gravidade e que a Terra exerce uma atração sobre os corpos levando-os a cair em direção ao centro da Terra, criticando Aristóteles por manter a visão de que apenas a Terra teria essas propriedades, propondo a gravidade como uma lei geral. Sua explicação foi mais uma compreensão intuitiva da força gravitacional, uma vez que não apresentou qualquer formulação matemática ou uma teoria sistemática como seria desenvolvida mais tarde por Newton.
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Al-Biruni também realizou experimentos para medir a gravidade com técnicas e instrumentos limitados, mas conseguiu propor métodos para medir a aceleração da gravidade , abordando questões relacionadas à queda dos corpos e às variações na gravidade em diferentes locais.
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No século XII, Al-Khazini (séc XI-séc XII) nascido em Irã, sugeriu que a gravidade que um objeto contém varia dependendo de sua distância do centro da Terra. Em seu tratado escrito em quatro volumes O livro da sabedoria, dissertou sobre a teoria do centro de gravidade de seus antecessores, incluindo Al-Biruni, al-Razi e Omar Khayam. 

Al-Khazini explica como o peso do ar e sua densidade diminuem com a altitude e como a densidade da água é maior quanto mais próximo ao centro da Terra, o que foi comprovado por Roger Bacon dois séculos mais tarde.

Al-Khazini ainda escreve que um corpo pesado é aquele que é movido por uma força inerente, constante, em direção oa centro da Terra, ou seja, que possui uma força que o move em unicamente em direção a um ponto central.

Al-Biruni e Al-Khazini estudaram a teoria do centro de gravidade, generalizando-a e aplicando-a a corpos tridimensionais. Eles também fundaram a teoria da alavanca ponderável e criaram a ciência da gravidade, meio milênio antes de Isaac Newton. Métodos experimentais refinados também foram desenvolvidos para determinar a gravidade específica ou o peso específico de objetos, baseados na teoria de balanças e pesagens pelos polímatas muçulmanos.
Abu’l-Barakāt Al-Baghdādī
No século XII, Abu’l-Barakāt Al-Baghdādī (1080-1165), nascido em Bagdá, Iraque, adotou e modificou a teoria de Ibn Sina sobre o movimento do projétil. Em sua obra claramente anti-aristotélica Kitab al-Mu’tabar, Al-Baghdādī desenvolveu conceitos que se assemelham a várias teorias modernas da física, propondo uma explicação da aceleração de corpos em queda pelo acúmulo de incrementos sucessivos de potência em incrementos sucessivos de velocidade.

A teoria do movimento de Al-Baghdādī foi um vago prenúncio da segunda lei do movimento de Newton, ao distinguir entre velocidade e aceleração e mostrar que a força é proporcional à aceleração.

Al-Baghdādī também modificou a teoria do movimento de projétil de Avicena e afirmou que o motor transmite uma inclinação violenta ao movido e que isso diminui à medida que o objeto em movimento se distancia do motor.

De acordo com Shlomo Pines (1908-1990) estudioso francês de filosofia judaica e islâmica, a teoria do movimento de al-Baghdādī era “a negação mais antiga da lei dinâmica fundamental de Aristóteles, ou seja, que uma força constante produz um movimento uniforme, e é, portanto, uma antecipação de uma forma vaga da lei fundamental da mecânica clássica, ou seja, que uma força aplicada continuamente produz aceleração.


$\rightarrow$ Conheça mais sobre a cultura islâmica em História Islâmica, por Mansur Peixoto.


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Referências:


Veja mais:

O Teorema de Pitágoras: Uma jornada através da história

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O Teorema de Pitágoras é uma das descobertas matemáticas mais fundamentais e influentes na história da humanidade. Sua origem remonta à antiga Mesopotâmia (mais de mil anos antes de Pitágoras nascer), onde os babilônios possuíam um conhecimento prático que antecedeu a formulação formal pelos pitagóricos na Grécia Antiga.

Origens e utilização pelos babilônios

As origens do Teorema de Pitágoras têm raízes profundas na prática matemática dos babilônios na Mesopotâmia, onde os registros arqueológicos revelam uma compreensão empírica dessas relações geométricas. Embora os babilônios não tenham formulado o teorema de maneira abstrata, eles o aplicavam de maneira prática em situações do cotidiano.

Os babilônios utilizavam tábuas de argila para registrar informações matemáticas, e talvez a mais notável das tábuas babilônias já analisadas seja aquela conhecida como Plimpton 322. O nome faz referência a G. A. Plimpton da Universidade de Columbia, catalogada pelo número de 322.
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[Plimpton-322: Tábua em argila com escrita cuneiforme com registro de matemática babilônica]

Esta tábua foi escrita no período babilônio antigo, aproximadamente entre 1900 a 1600 a.C.. Contém três colunas praticamente completas de caracteres, sendo os valores dos catetos e hipotenusa de triângulos retângulos.

Esses ternos pitagóricos eram frequentemente associadas a medidas de áreas e comprimentos em contextos como agricultura e construção.

É interessante notar que os babilônios não se preocupavam em fornecer uma prova formal do teorema, mas sim em aplicar suas propriedades de forma pragmática. Por exemplo, registros de terras agrícolas mostram o uso do teorema de Pitágoras na demarcação de campos retangulares. Eles reconheciam que um triângulo retângulo com lados proporcionais de $3$, $4$ e $5$ unidades, por exemplo, garantia um ângulo reto e, portanto, poderia ser usado para garantir a precisão nas medidas.

Essa abordagem prática e aplicada dos babilônios destaca a natureza evolutiva do conhecimento matemático, onde princípios fundamentais são descobertos e utilizados muito antes de serem formalizados por teóricos posteriores. Assim, a contribuição dos babilônios para o desenvolvimento do Teorema de Pitágoras reside não apenas na descoberta empírica, mas também na aplicação eficaz dessa relação geométrica em sua sociedade.

Origem dos termos cateto e hipotenusa

A etimologia das palavras "cateto" e "hipotenusa" está ligada à influência da língua grega na terminologia matemática. Ambos os termos são utilizados em contextos relacionados a triângulos retângulos.

Cateto: A palavra "cateto" tem sua origem no termo grego "kathetos" (κάθετος), que significa "vertical" ou "perpendicular". Essa escolha de termo reflete a posição dos lados que formam o ângulo reto em um triângulo retângulo, que são perpendiculares entre si.

Hipotenusa: A palavra "hipotenusa" também tem origem grega, derivada de "hypoteinousa" (ὑποτείνουσα), que é a junção das palavras “hypo”, que significa “sob”, “por baixo” e pela palavra “teinen”, que significa “esticar”, podendo ser traduzida como "estendida sob". Isso se refere ao lado oposto ao ângulo reto, que se "estende sob" os catetos, conectando-os.
Triângulo retângulo e seus lados: catetos e hipotenusa
[Triângulo retângulo e seus lados: catetos e hipotenusa]

Essas terminologias foram incorporadas à linguagem matemática e foram preservadas ao longo do tempo. A utilização de raízes gregas para nomear elementos geométricos reflete a influência duradoura da tradição matemática grega na construção do vocabulário matemático em várias línguas.

Formulação pelos pitagóricos

A formulação formal do teorema é atribuída à escola pitagórica, uma comunidade de pensadores liderada por Pitágoras, na Grécia do século VI a.C. A ideia fundamental é expressa pela relação matemática que afirma:

A soma dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa.
teorema-de-pitagoras-quadrados-sobre-os-lados
[Quadrados sobre os catetos e sobre a hipotenusa]

Essa formulação abriu caminho para uma compreensão mais abstrata e generalizada das relações geométricas, representando a transição de conceitos práticos para uma compreensão mais abstrata e teórica da geometria.

Elementos da formulação pitagórica

Triângulo retângulo: Os pitagóricos focaram inicialmente em triângulos retângulos, ou seja, aqueles que possuem um ângulo reto (90 graus). Identificaram a relação fundamental entre os comprimentos dos lados desse tipo específico de triângulo.

A importância dos quadrados: A percepção crucial foi o reconhecimento de que os quadrados construídos sobre os catetos (os lados que formam o ângulo reto) tinham uma relação específica com o quadrado construído sobre a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto).

Sentença matemática: A formulação pitagórica pode ser expressa como:
$$
a^2+b^2=c^2
$$
onde $a$ e $b$ são os catetos, e $c$ é a hipotenusa de um triângulo retângulo.

Devemos esclarecer que quando dizemos “quadrado”, não estamos nos referindo necessariamente a figura geométrica “quadrado”, mas sim à área de um polígono qualquer.
teorema-de-pitagoras-generalizado-para-poligonos-sobre-os-lados-de-um-triangulo-retangulo
[O teorema de Pitágoras generalizado para a área de polígonos sobre os lados de um triângulo retângulo]


Demonstrações do Teorema de Pitágoras

Ao longo dos séculos, matemáticos desenvolveram diversas demonstrações do teorema. Desde as clássicas demonstrações geométricas, como a Proposição I-47 contida nos Elementos de Euclides e a de Leonardo Da Vinci, até abordagens mais algébricas, o teorema de Pitágoras tornou-se um ponto focal na teoria matemática.

O Teorema de Pitágoras é considerado o que possui maior quantidade de métodos de demonstração (mais de 400). Essas demonstrações não apenas reforçam a validade do teorema, mas também enriquecem a compreensão da matemática como um sistema lógico e coerente.

As demonstrações tendem a comprovar que a área sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas sobre os catetos, podendo utilizar a geometria plana, a trigonometria, a geometria analítica, entre outros.
teorema-depitagoras-segundo-euclides-proposicao-I-47
[Prova do Teorema de Pitágoras, segundo Euclides] 

Demonstrações do Teorema de Pitágoras podem ser lidas nos links abaixo:

Fórmula para calcular os ternos pitagóricos 

Umterno pitagórico (ou tripla pitagórica) é formado por três números inteiros positivos $(a,b,c)$ que representam os lados de um triângulo retângulo e que obedecem à relação $a^2+b^2=c^2$. Se $(a,b,c)$ é um terno pitagórico, então $(ka,kb,kc)$ também é, para todo $k$ pertencente aos números naturais.

Umterno pitagórico primitivo é aquele que os três lados  $(a,b,c)$ do triângulo retângulo são primos entre si.

Um dos grandes feitos matemáticos dos gregos, posterior muitos séculos à tábua de Plimpton 322, foi mostrar que é possível encontrar três números $(a,b,c)$ que satisfazem à relação $a^2+b^2=c^2$ dados parametricamente por:
\begin{cases}
a = 2\ u\ v\\
\ \\
b = u^2 - v^2\\
\ \\
c = u^2 + v^2
\end{cases}
sendo $u>v$.

As fórmulas acima fornecem ternos pitagóricos se $u>v$, mas serão ternos pitagóricos primitivos se os valores atribuídos a $u$ e $v$ forem primos entre si de paridades diferentes, ou seja, um par e outro ímpar.

Abaixo podemos observar uma tabela contendo ternos pitagóricos. As linhas destacadas em azul são os ternos pitagóricos primitivos:

$u$$v$$a=$$2uv$$b=$$u^2-v^2$$c=$$u^2+v^2$
21435
316810
3212513
4181517
42161220
4324725
51102426
52202129
53301634
5440941
61123537
62343240
63362745
64482052
65601161
71144850
72284553
73424058
74563365
75702474
76841385
81166365
82326068
83485573
84644880
85803989
869628100
8711215113
9118882
92367785
93547290
94726597
959056106
9610845117
9712632130
9814417145

[Tabela de ternos pitagóricos]

A sequência de ternos pitagórigos primitivos está catalogada na OEIS sob o número A103606.


Significado filosófico

Além da importância matemática, o Teorema de Pitágoras reflete a busca dos pitagóricos por harmonia e ordem no universo. Eles acreditavam que os números e as relações matemáticas desempenhavam um papel fundamental na compreensão da natureza e do cosmos.

Os pitagóricos acreditavam que os números eram a base fundamental da realidade e que podiam ser aplicados para entender a natureza e a relação entre os lados do triângulo retângulo conectava os números e a geometria.

Pitágoras e seus seguidores consideravam que as relações matemáticas eram a chave para compreender a estrutura fundamental do universo. A ideia de que padrões numéricos e geométricos podiam ser encontrados em todas as coisas, desde as proporções do corpo humano até os movimentos dos planetas.
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[O conceito de música ser uma analogia perfeita para as funções do sistema solar existe desde os pitagóricos gregos, que acreditavam que os padrões geométricos do sistema solar denotavam notações musicais]

Uma parte interessante da filosofia pitagórica é a concepção da música das esferas, que postula a existência de uma harmonia divina e matemática entre o macrocosmo e o microcosmo. Os pitagóricos acreditavam que os movimentos dos corpos celestes geravam sons inaudíveis, e esses sons, quando traduzidos em termos musicais, formavam uma harmonia cósmica. A relação entre as proporções numéricas e as escalas musicais refletia, para eles, a ordem do universo.

A abordagem pitagórica influenciou muitos filósofos posteriores, como Platão, que valorizava a matemática como uma forma de acesso ao conhecimento eterno e universal. A ideia de que a realidade podia ser compreendida por meio de princípios matemáticos encontrou eco em várias tradições filosóficas ocidentais.

Legado e influência

A formulação pitagórica não apenas solidificou o entendimento do Teorema de Pitágoras, mas também influenciou o desenvolvimento subsequente da matemática grega e, eventualmente, da matemática ocidental. Essa formulação abstrata proporcionou uma base sólida para o desenvolvimento da geometria e álgebra, contribuindo para a ascensão da matemática como uma disciplina autônoma.

A formulação pelos pitagóricos não apenas estabeleceu um teorema fundamental na geometria, mas também inaugurou uma nova era de investigação matemática, marcada por uma abordagem mais abstrata e teórica em direção aos princípios fundamentais da disciplina.

Outras civilizações

Outras civilizações antigas, além dos babilônios e dos gregos, também faziam uso da propriedade do triângulo retângulo:

Egípcios: Embora não tenham formulado o teorema da mesma forma que os gregos, podemos encontrar papiros com evidências do uso prático pelos egípcios na construção de pirâmides e medições de áreas.

Indianos: No século VI a.C., o Período Védico é marcado por intensas transformações nos campos religioso e intelectual. Os matemáticos indianos contribuíram significativamente para o desenvolvimento da matemática. Textos Shulba Sutras fazem parte do corpo de textos maiores chamados Shrauta Sutras, considerados apêndices dos Vedas. São as únicas fontes de conhecimento da matemática indiana a partir do período védico e mostram conhecimento de triângulos com lados proporcionais, indicando compreensão similar ao teorema de Pitágoras.

Chineses: Na China antiga, há registros que matemáticos chineses também tinham compreensão das relações nos triângulos retângulos. No livro Was Pythagoras Chinese?, nos mostra que a demonstração do teorema já era conhecida pelos chineses muito antes do nascimento de Pitágoras. Isso é verdade, pois no livro Chou Pei Suan Ching, na dinastia Han, contém algumas explicações sobre triângulos retângulos que mais tarde foram reconhecidos como demonstrações do teorema de Pitágoras na antiga China.

É importante notar que, embora essas civilizações tenham demonstrado um entendimento prático de conceitos relacionados ao Teorema de Pitágoras, muitas vezes essas ideias não foram formuladas de maneira formal e teórica como na matemática grega. O conhecimento matemático era frequentemente utilizado para aplicações práticas, como na agricultura, construção e astronomia.

Importância no cotidiano atual

O Teorema de Pitágoras transcende seu contexto histórico e continua a ser uma ferramenta essencial no cotidiano. Muito embora seja amplamente ensinado em contextos tradicionais da Matemática, podemos ainda observar aplicações em diversas áreas, tais como Física, Astronomia, Arquitetura, Engenharias, Ciências Tecnológicas, Arte, Marcenaria, Logística, entre outras.

O Teorema de Pitágoras é milenarmente aplicado em engenharia civil e arquitetura para calcular distâncias, verificar a perpendicularidade de estruturas e garantir que construções estejam niveladas e alinhadas corretamente.

Na navegação marítima e aérea, o teorema é utilizado para calcular distâncias e coordenadas. Pilotos e navegadores podem usar princípios semelhantes para determinar a distância entre dois pontos em um mapa.

Em biologia, o Teorema de Pitágoras pode ser aplicado em estudos de ecologia para estimar áreas de habitats ou a distância entre locais de amostragem. Em física, ele é utilizado para analisar trajetórias e movimentos, por exemplo, em problemas relacionados a projeções de objetos.

Na área de computação gráfica, o teorema é frequentemente utilizado para determinar a distância entre pontos em um espaço tridimensional, sendo crucial em aplicações como design de jogos, modelagem 3D e realidade virtual.

Em algumas técnicas médicas, como a ressonância magnética, o Teorema de Pitágoras é aplicado indiretamente para calcular distâncias e garantir a precisão na localização de estruturas anatômicas.

Em análises de dados espaciais, o teorema pode ser utilizado para calcular distâncias euclidianas entre pontos. Isso é útil em estudos de mercado, análise de localização de empresas e em muitos campos relacionados à estatística e geografia econômica.

A relação entre comprimentos de cordas em instrumentos musicais segue os princípios do Teorema de Pitágoras. As notas musicais e suas frequências estão relacionadas proporcionalmente aos comprimentos das cordas, e isso é fundamental na construção e ajuste de instrumentos.

Em cinematografia, o teorema é utilizado na composição de cenas, ajustando distâncias entre objetos e câmeras para criar efeitos visuais específicos. Isso é crucial em áreas como efeitos especiais e animação.

Além do Teorema de Pitágoras

Pierre de Fermat conjecturou em 1637 um teorema que ficou conhecido como O Último Teorema de Fermat. Trata-se de uma generalização do Teorema de Pitágoras para expoentes inteiros positivos maiores que 2:
$$
a^n + b^n = c^n
$$
Fermat afirmou que para expoentes maiores que dois, não havia solução, no entanto, não provou.
O último teorema de Fermat Andrew Wiles Teorema de pitágoras
Muitos matemáticos se dedicaram para tentar demonstrar o caso genérico, mas a solução só viria em 1995 por Andrew Wiles. Neste meio tempo, matemáticos provaram casos particulares, por exemplo:
  • 1753: Leonhard Euler demonstrou o caso para $n=3$
  • 1825: Legendre demonstrou o caso para $n=5$
  • 1832: Dirichlet demonstrou o caso para $n=14$
  • 1839: Lamé demonstrou parcialmente  o caso para $n=7$
Andrew Wiles conseguiu o feito utilizando como base uma conjectura feita pelos matemáticos Yutaka Taniyama e Goro Shimura (conhecida como conjectura Taniyama-Shimura). Wiles percebeu que, se conseguisse demonstrar essaa conjectura, conseguiria provar o Último Teorema de Fermat.

Apesar do Último Teorema de Fermat não ter uma aplicação prática em nosso cotidiano, a busca por sua solução possibilitou o desenvolvimento de sofisticadas ferramentas que enriqueceram a matemática moderna.


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Referências

  • Introdução à História da Matemática - Howard Eves
  • História da Matemática - Carl Boyer
  • Os Elementos de Euclides
  • https://pt.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras
  • https://pt.wikipedia.org/wiki/Terno_pitag%C3%B3rico
  • https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%BAsica_das_esferas
  • https://en.m.wikipedia.org/wiki/Shulba_Sutras
  • https://jornal.usp.br/ciencias/ciencias-exatas-e-da-terra/a-matematica-em-nosso-dia-a-dia-mais-constante-do-que-imaginamos/
  • https://www.dm.ufscar.br/~sampaio/tccs/TCCB-HuangShinYi.pdf 
  • https://www.fc.unesp.br/Home/Departamentos/Matematica/revistacqd2228/v06a03-teorema-de-pitagoras.pdf

Veja mais:

Método de integração por partes com 3 termos

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O método de integração por partes funciona bem quando o integrando é um produto entre duas funções, como por exemplo $e^x\ \cos(x)$, e para isso, utilizamos a fórmula:
$$
\int u\ dv = uv - \int v\ du 
$$
Podemos estender essa fórmula para quando houver no integrando um produto entre três funções, como por exemplo $x\ \text{sen}(x)\ e^x$.

Vamos iniciar com a função:
$$
f = u\ v\ w 
$$
E a derivada de $f$ será:
$$
f^\prime = u^\prime v\ w + u\ v^\prime w + u\ v\ w^\prime
$$
Para entender de onde vieram as fórmulas acima, sugiro a leitura dos artigos:

Podemos reescrever a derivada com outra notação mais intuitiva:
$$
d(u\ v\ w) = v\ w \ du + u\ w\ dv + u\ v\ dw
$$
Para obtermos:
$$
u\ v\ dw = d(u\ v\ w) - v\ w\ du - u\ w\ dv
$$
Integrando ambos os membros da igualdade, obtemos:
$$
\int u\ v\ dw = \int d(u\ v\ w) - \int v\ w\ du - \int u\ w\ dv
$$
Encontrando a fórmula para integração por partes de 3 termos:
$$
\int u\ v\ dw = u\ v\ w - \int v\ w\ du - \int u\ w\ dv
$$
De um modo geral, é possível seguir algumas etapas para resolver integrais contendo 3 termos através do método de integração por partes:
  1. Fatoramos o integrando em três partes convenientes;
  2. Escolhemos as substituições dos fatores, sendo o primeiro igual a $u$, o segundo igual a $v$ e o terceiro (incluindo $dx$) igual a $dw$;
  3. Calculamos as derivadas de $u$ e $v$ e a integral de $dw$ para obtermos $du$, $dv$ e $w$, respectivamente;
  4. Calculamos as integrais $\displaystyle \int v\ w\ du$ e $\displaystyle \int u\ w\ dv$;
  5. Escrevemos o resultado como:
$$
\int u\ v\ dw = u\ v\ w - \int v\ w\ du - \int u\ w\ dv
$$
As escolhas de $u$, $v$ e $dw$ são importantes para o sucesso na integração. Devemos pensar essa escolha como um produto $u\ v\ dw$ de tal modo que seja o mais simples possível de integrar.

Nota: Se você estiver utilizando celular, talvez as fórmulas não apareçam completamente em sua tela devido ela serem longas demais. Talvez seja necessário girar a tela para horizontal.

Exemplo:

Calcular a integral $\displaystyle \int x\ \text{sen}(x)\ e^x\ dx$.

Seja a integral:
$$
I = \int x\ \text{sen}(x)\ e^x\ dx
$$
Vamos escolher $u = x$, $v = \text{sen}(x)$ e $dw=e^x\ dx$. Em seguida, calculamos as derivadas de $u$ e $v$ e a integral de $dw$:
\begin{matrix}
u = x &\longrightarrow & du = dx\\
v =\text{sen}(x) & \longrightarrow & dv = \cos(x)\ dx\\
dw = e^x\ dx & \longrightarrow & w = e^x
\end{matrix}
O próximo passo é aplicar os resultados obtidos acima na fórmula para integração por partes:
$$
I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - \color{red}{\underbrace{\int \text{sen}(x)\ e^x\ dx}_1} - \color{blue}{\underbrace{\int x\ \cos(x)\ e^x dx}_2}
$$
Vamos resolver separadamente as integrais $(1)$ e $(2)$ e depois substituímos na integral acima.

◾ Resolvendo a integral $(1)$: $\displaystyle \color{red}{ \int \text{sen}(x)\ e^x\ dx}$

Fazemos:
$$
\color{red}{\begin{matrix}
u =\text{sen}(x) & \longrightarrow & du = \cos(x)\ dx\\
dv = e^x\ dx & \longrightarrow & v = e^x
\end{matrix}}
$$
Aplicamos os resultados acima na fórmula para integração por partes:
$$
\color{red}{\int \text{sen}(x)\ e^x\ dx = \text{sen}(x)\ e^x - \int \cos(x)\ e^x\ dx}
$$

◾ Resolvendo a integral $(2)$: $\displaystyle \color{blue}{\int x\ \cos(x)\ e^x dx}$

Fazemos:
$$
\color{blue}{\begin{matrix}
u = x & \longrightarrow & du = dx\\
v = \cos(x) & \longrightarrow & dv = -\text{sen}(x)\ dx\\
dw = e^x\ dx & \longrightarrow & w = e^x
\end{matrix}}
$$
Aplicamos o resultado na fórmula para integração por partes:
$$
\color{blue}{\int x\ \cos(x)\ e^x dx = x\ \cos(x)\ e^x - \int \cos(x)\ e^x du - \int x\ \text{sen}(x)\ e^x dx}
$$
Agora, substituímos os dois resultados acima na integral $I$:
$$
I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - \text{sen}(x)\ e^x +\\
\int \cos(x)\ e^x\ dx - x\ \cos(x)\ e^x -\\
\int \cos(x)\ e^x\ dx - \int x\ \text{sen}(x)\ e^x\ dx
$$
A última integral da relação acima é igual à integral original, de modo que podemos substituí-la por $I$:
$$
I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - \text{sen}(x)\ e^x +\\
\int \cos(x)\ e^x\ dx - x\ \cos(x)\ e^x -\\
\int \cos(x)\ e^x\ dx - I\\
\ \\
\ \\
2I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - \text{sen}(x)\ e^x +\\
\int \cos(x)\ e^x\ dx - x\ \cos(x)\ e^x -\\
\int \cos(x)\ e^x\ dx
$$
Somamos os termos semelhantes:
$$
2I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - \text{sen}(x)\ e^x -\\
x\ \cos(x)\ e^x + 2 \color{Magenta}{\underbrace{\int \cos(x)\ e^x\ dx}_3}
$$
◾ Resolvendo a integral $(3)$: $\color{Magenta}{\displaystyle \int \cos(x)\ e^x\ dx}$

Fazemos:
$$
\color{Magenta}{\begin{matrix}
u =\cos(x) & \longrightarrow & du = -\text{sen}(x)\ dx\\
dv = e^x\ dx & \longrightarrow & v = e^x
\end{matrix}}
$$
Aplicamos o resultado na fórmula para integração por partes:
$$
\color{Magenta}{\displaystyle \int \cos(x)\ e^x\ dx = \cos(x)\ e^x + \int \text{sen}(x)\ e^x\ dx}
$$
Precisamos efetuar uma nova integração por partes para resolver a última integral. Fazemos:
$$
\color{Magenta}{\begin{matrix}
u =\text{sen}(x) & \longrightarrow & du = \cos(x)\ dx\\
dv = e^x\ dx & \longrightarrow & v = e^x
\end{matrix}}
$$
Substituindo os valores obtidos:
$$
\color{Magenta}{\displaystyle \int \cos(x)\ e^x\ dx = \cos(x)\ e^x +\\
\text{sen}(x)\ e^x - \int \cos(x)\ e^x\ dx\\}
\ \\
\ \\
\color{Magenta}{2 \displaystyle \int \cos(x)\ e^x\ dx = \cos(x)\ e^x + \text{sen}(x)\ e^x}
$$
Agora, podemos substituir o resultado acima na integral $I$:
$$
2I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - \text{sen}(x)\ e^x -\\
x\ \cos(x)\ e^x + \cos(x)\ e^x + \text{sen}(x)\ e^x + C
$$
Somamos os termos semelhantes:
$$
2I = x\ \text{sen}(x)\ e^x - x\ \cos(x)\ e^x + \cos(x)\ e^x + C\\
\ \\
2I = e^x \Big(x\ \text{sen}(x) - x\cos(x) + \cos(x)\Big)+C\\
\ \\
I = \frac{e^x}{2}\Big(x\ \text{sen}(x) - x\cos(x) + \cos(x)\Big)+C
$$

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A circunferência e seus elementos

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A circunferência desempenha um papel fundamental na geometria, sendo um dos objetos geométricos mais estudados e aplicados em diversas áreas do conhecimento. Desde a antiguidade, a circunferência tem fascinado matemáticos, cientistas e filósofos, desempenhando um papel central no desenvolvimento da geometria euclidiana e em muitas outras teorias matemáticas.
Ela serve como a base para o estudo de muitos conceitos geométricos, como área, perímetro, ângulos e coordenadas. Além disso, a circunferência está presente em várias situações do mundo real, desde o movimento dos planetas no espaço até o design de objetos cotidianos, como rodas, relógios e engrenagens.

Na geometria analítica, a equação da circunferência desempenha um papel crucial na representação de formas geométricas em um plano cartesiano, permitindo a modelagem e resolução de uma ampla gama de problemas geométricos e físicos.

Compreender os elementos e propriedades da circunferência é essencial para explorar e aplicar conceitos geométricos em diversas áreas do conhecimento, destacando sua importância contínua na matemática e em aplicações práticas.

Vamos considerar a imagem abaixo e explorar os principais elementos que compões a circunferência.

a-circunferencia-e-seus-elementos-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian-raio-corda-secante-diametro-raio-tangente-angulo central-flecha

Centro: O centro $O$ da circunferência é o ponto que possui a mesma distância de todos os pontos que compõem a circunferência.

Raio: O raio $r$ é o segmento de reta que une o centro da circunferência a qualquer ponto sobre a circunferência. Na figura, o raio está representado pelo segmento $r=\overline{OC}$.

Corda: Corda é o segmento de reta que une dois pontos distintos sobre a circunferência. Na figura, a corda está representada pelo segmento $\overline{DE}$.

Diâmetro: O diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência e possui comprimento igual a duas vezes o raio. Geralmente é representado pela letra $D$. Na figura, o diâmetro está representado pelo segmento $\overline{AB}=2r$.

Arco: O arco de é uma porção da circunferência limitada por dois pontos. Na figura, o arco está representado pela porção entre os pontos $F$ e $G$. O arco é medido através do ângulo central que o admite.

Flecha: Uma flecha é o segmento de reta que unes os pontos médios do arco e da corda que o admite. Na imagem, a flecha está representada pelo segmento $\overline{HI}$.

Tangente: A tangente é uma reta que intersecta a circunferência em apenas 1 ponto. Na imagem, a reta tangente $(t)$ passa pelo ponto $L$.

Secante: A secante é uma reta que intersecta a circunferência em 2 pontos distintos. Na imagem, a reta secante $(s)$ passa pelos pontos $J$ e $K$.

Semicircunferência: A semicircunferência é o arco equivalente a meia circunferência. Na imagem, a semicircunferência está representada é limitada pelos pontos $A$ e $B$.  O ângulo central mede $\theta = 180^\circ$.

Comprimento da circunferência: O comprimento $C$ da circunferência é a medida da soma de todos os pontos que compõe a curva. O comprimento de uma circunferência é dado por $C=2\pi r$

Veja mais:

Georg Cantor e a Teoria dos Conjuntos

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A natureza do infinitoé uma questão antiga e controversa. Arquimedes (287-212 a.C.) fazia distinção entre infinito potencial e infinito atual. Esse último, que vem a ser o infinito como algo completo, era descartado por não haver nenhuma evidência de que alguma coleção de objetos pudesse corresponder a tai ideia.

O conjunto $\mathbb{N}$, por outro lado, é um exemplo de conjunto potencialmente infinito, pois sempre se pode somar uma unidade a cada um de seus elementos obtendo-se outro número natural.

No século XVII, Galileu comprou os conjuntos $\mathbb{N}^*={1,2,3, \cdots}$ e $P={2,4,6, \cdots}$ e assinalou que, se a ideia de infinito atual fosse válida, haveria tantos números pares e ímpares reunidos quanto pares apenas, posto que a correspondência:
$$
1 \rightarrow 2\\
2 \rightarrow 4\\
3 \rightarrow 6\\
n \rightarrow 2n\\
\cdots
$$
de $\mathbb{N}^*$ em $P$ é, como dizemos hoje, biunívoca. Este aparente paradoxo deve tê-lo levado a deixar de lado tais cogitações.

Aliás, a ideia de infinito atual, por ter conotações de ordem religiosa, não era aceita também por certos teólogos (São Tomás de Aquino, por exemplo) que viam em Deus a única natureza absolutamente infinita. E isso deve ter contribuído para que sua adoção fosse retardada na Matemática.

Curiosamente, quem tirou a Matemática dessa "camisa de força"  foi um homem de profunda fé religiosa, Georg Cantor (1845-1918).

Cantor nasceu na Rússia, na cidade de São Petersburgo, mas aos 11 anos mudou-se com sua família para a Alemanha, onde se fixou. Em 1862, iniciou o curso de Engenharia em Zurique mas, depois de um semestre, deixou-o para fazer Matemática em Berlim, em cuja universidade obteve o grau de doutor no ano de 1867 com uma tese sobre teoria dos números. Dois anos depois foi admitido na Universidade de Halle, onde transcorreria sua carreira acadêmica.

Dedicando-se entre 1870 e 1872 a pesquisa na área de análise matemática, Cantor acabou tendo sua atenção atraída para um assunto com o qual seu espírito tinha especial afinidade: a natureza dos conjuntos infinitos. E de sua opção por este caminho nasceria a teoria dos conjuntos como capítulo da Matemática.

Em 1872, o matemático alemão Dedekind dera o primeiro passo nesse sentido com a seguinte definição (aqui escrito em definição moderna):

Um conjunto se diz infinito se pode ser colocado em correspondência biunívoca com uma parte própria de si mesmo.

Ou seja, aquilo que a Galileu parecera um paradoxo tornava-se a propriedade fundamental dos conjuntos infinitos, com todas as sua implicações.

O grande mérito de Cantor foi perceber, a partir daí, a existência de conjuntos infinitos de espécies diferentes, numa escala de grandeza. Se dois conjuntos, como $\mathbb{N}^*$ e $P$, podem ser colocados em correspondência biunívoca, diz-se que ambos têm mesma potência. E foi através dessas potências que Cantor hierarquizou o infinito.

Na primeira categoria da escala do infinito estão todos os conjuntos com a mesma potência de $\mathbb{N}^*$, entre os quais estão $P$, $\mathbb{Z}$ e, surpreendentemente, o próprio $\mathbb{Q}$. Estes são os conjuntos enumeráveis. A sequência a seguir, em que os números são ordenados pela sua altura (= numerador + denominador), dá uma ideia do porquê de $\mathbb{Q}^*_+$ ser também enumerável:
$$
\frac{1}{1}\ , \ \frac{1}{2}\ , \ \frac{2}{1} \ , \ \frac{1}{3} \ , \ \frac{2}{2} \ , \ \frac{3}{1} \ , \ \frac{1}{4} \ , \ \frac{2}{3} \ , \ \frac{3}{2} \ , \ \frac{4}{1}\ , \cdots
$$
Cantor mostrou que $\mathbb{R}$ e $\mathbb{C}$ têm a mesma potência e que esta é superior à dos enumeráveis. E mostrou ainda que a escala do infinito não tem limites: sempre há potências maiores.

Certos resultados obtidos por Cantor surpreenderam a ele mesmo. Sob esse ponto de vista é possível entender o porquê das duras críticas que recebeu de importantes matemáticos de seu tempo. Mas, para o progresso da Matemática, prevaleceram opiniões como a de Hilbert:

Do paraíso criado por Cantor ninguém nos tirará.

Georg Cantor manteve uma extensa correspondência com o David Hilbert . Eles trocaram ideias, discutiram problemas matemáticos e apoiaram-se mutuamente. Sua correspondência resultou em avanços significativos no campo da matemática.

O trabalho inovador de Cantor lançou as bases para muitas áreas da matemática moderna , incluindo topologia, lógica e análise. Suas noções de infinito e teoria dos conjuntos tiveram um impacto profundo em nossa compreensão das estruturas matemáticas e continuam a moldar a pesquisa matemática até hoje.

Suas ideias inovadoras sobre o infinito e a teoria dos conjuntos revolucionaram o campo, garantindo-lhe um lugar entre os maiores matemáticos da história.

O trabalho de Cantor sobre o infinito desafiou as ideias matemáticas estabelecidas em sua época, particularmente a noção de que existe apenas um tipo de infinito. Ele mostrou que conjuntos infinitos podem ter tamanhos diferentes, o que ia contra a crença predominante de que o infinito é um conceito único e homogêneo.

Referências:

  • Fundamentos de Matemática Elementar V1 - Conjuntos e Funções

Veja mais:

O Teorema de Pitágoras em três dimensões

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O Teorema de Pitágorasé um dos pilares fundamentais da matemática, amplamente conhecido por sua aplicação na Geometria Plana. Contudo, sua elegância e utilidade não se limitam ao plano bidimensional. Quando estendido ao espaço tridimensional, o Teorema de Pitágoras permite calcular distâncias em um contexto mais amplo e complexo, fornecendo uma base essencial para a Geometria Analítica, a Física e várias engenharias.

Neste artigo, exploraremos a extensão do Teorema de Pitágoras para três dimensões, possibilitando lidar com problemas geométricos no espaço tridimensional. Veremos como a incorporação de um triângulo retângulo de forma oblíqua dentro de um sólido retangular nos leva a uma generalização do teorema.

Abordaremos a definição de Quartetos Pitagóricos, conjuntos de quatro inteiros positivos que satisfazem a relação pitagórica tridimensional. A geração desses quartetos, através de fórmulas paramétricas, ilustra a profundidade e a beleza matemática dessa extensão.

Por fim, discutiremos a Fórmula da Distância, uma consequência direta do Teorema de Pitágoras, que permeia tanto a matemática básica quanto a avançada. Essa fórmula é essencial para a análise geométrica em espaços tridimensionais e se aplica a uma vasta gama de disciplinas científicas e tecnológicas.

Dado um paralelepípedo, de lados $a$, $b$ e $c$, vamos denotar como $x$ a diagonal de uma das faces e vamos denotar como $d$ a diagonal principal:
teorema-pitagoras-em-3-dimensoes-quartestos-fantásticos

Teorema 1:

Dado um sólido retangular de lados $a$, $b$ e $c$, o quadrado da diagonal principal $d$ é dado por:
$$
a^2 + b^2 + c^2 = d^2
$$

Demonstração:

A partir do Teorema de Pitágoras, temos que:
$$
x^2 + c^2 = d^2 \tag{1}
$$
e
$$
a^2 + b^2 = x^2 \tag{2}
$$
Substituindo a equação $(2)$ em $(1)$, obtemos:
$$
a^2 + b^2 + c^2 = d^2 \tag{3}
$$

Quartetos Pitagóricos:

Um quarteto pitagórico é um conjunto de quatro inteiros positivos $a$, $b$, $c$ e $d$, tal que satisfazem a relação pitagórica tridimensional expressa pela equação:
$$
a^2+b^2+c^2=d^2
$$
Assim como os ternos pitagóricos estão associados ao plano, os quartetos pitagóricos estão associados ao espaço tridimensional. Podemos obter quartetos pitagóricos $(a,b,c,d)$ utilizando as fórmulas abaixo:
$$
\begin{align*}
a &= u^2\\
b &= 2\ u\ v\\
c &= 2\ v^2\\
d &= u^2 + 2\ v^2
\end{align*}
$$
Para verificarmos que as relações acima são válidas, podemos elevar ao quadrado as igualdades $a$, $b$ e $c$ e somá-las:
$$
\big(u^2\big)^2 + \big(2\ u\ v\big)^2+\big(2\ v^2\big)^2 =\\
\ \\
u^4 + 4\ u\ v +4\ v^4=\\
\ \\
\big(u^2+2\ v^2\big)^2=d^2
$$
Podemos construir uma tabela contendo os quartetos pitagóricos:

$u$$v$$a=v^2$$b=2\ u\ v$$c=2\ v^2$$d = u^2 + 2\ v^2$
214426
3196211
32912817
41168218
421616824
4316241834
512510227
522520833
5325301843
5425403257
613612238
623624844

Calculando distâncias no espaço:

A fórmula para distância entre dois pontos no espaçoé uma consequência direta do Teorema de Pitágoras aplicada à Geometria Analítica.
teorema-pitagoras-em-3-dimensoes-formula-de-distancia

Teorema 2:

Sejam $P_1(x_1,y_1,z_1)$ e $P_2(x_2,y_2,z_2)$ dois pontos no espaço tridimensional. A distância $d$ entre esses pontos é o módulo do vetor $\overrightarrow{P_1P_2}$, dado por:
$$
d(P_1P_2) = ||\overrightarrow{P_1P_2}||
$$
Ou seja:
$$
d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}
$$

Demonstração:

Da relação $(3)$, temos que:
$$
d^2 = a^2 + b^2 + c^2
$$
Substituindo as coordenadas que definem cada lado do sólido, obtemos:
$$
d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\\
\ \\
d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}
$$

Exemplo:

Dados os pontos $P_1(7,3,4)$ e $P_2(1,0,6)$, calcular a distância entre eles.

Temos que:
$x_1 =7$  e  $x_2=1$
$y_1=3$  e  $y_2=0$
$z_1=4$  e  $z_2=6$

Assim:
$$
d = \sqrt{(1-7)^2 + (0-3)^2 + (6-4)^2}\\
\ \\
d = \sqrt{36+9+4}\\
\ \\
d = 7
$$
Assim, a distância entre os pontos $P_1$ e $P_2$ mede 7 unidades de comprimento.

Referências:

  • The Phytagorean Theorem - Crown Jewel of Mathematics - John C. Sparks

Veja mais:

O princípio da indução finita

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O princípio da indução finita é uma ferramenta usada para provar proposições que se aplicam a todos os números naturais. Sua essência está na ideia de que, se pudermos provar que uma proposição é verdadeira para o primeiro número natural (geralmente 0 ou 1) e, em seguida, provar que, se ela é verdadeira para um número natural arbitrário $k$, então também é verdadeira para $k+1$, poderemos concluir que a proposição é verdadeira para todos os números naturais.
aprenda a provar proposições, como provar proposições, indução finita, como demonstrar matemática

Indução vulgar

A indução vulgar é uma generalização após a verificação de que uma propriedade é válida em alguns casos particulares, o que pode levar a sérios enganos na Matemática, porque não prova que a propriedade é válida para todos os números naturais. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1:

Considere a relação $y=2^{2^n}+1$, com $n \in \mathbb{N}$.

Temos:
$n=0 \rightarrow y=2^{2^0}+1 = 2^1+1=3$
$n=1 \rightarrow y=2^{2^1}+1 = 2^2+1=5$
$n=2 \rightarrow y=2^{2^2}+1 = 2^4+1=17$
$n=3 \rightarrow y=2^{2^3}+1 = 2^8+1=257$
$n=4 \rightarrow y=2^{2^4}+1 = 2^{16}+1=65.537$

Os números $y$ encontrados são primos. Fermat (1601-1665) acreditou que a fórmula acima fornecia sempre números primos, qualquer que fosse o valor natural atribuído a $n$. Esta indução é falsa, pois Euler (1707-1783) mostrou que para $n=5$, obtém-se:
$$
y = 2^{2^5}+1 = 2^{32}+1 = 4.294.967.297
$$
Esse número não é primo, pois é divisível por 641:
$$
4.294.967.297 = 641 \times 6.700.417
$$
Logo, a fórmula de Fermat realmente fornece números primos, mas para alguns casos apenas.

Exemplo 2:

Dada a relação $\displaystyle y=-\frac{n^3}{6} + \frac{3n^2}{2}-\frac{7n}{3}+3$, com $n\in \mathbb{N}^*$.

Temos:
$\displaystyle n=1 \rightarrow y=-\frac{1^3}{6}+\frac{3\cdot 1^2}{2}-\frac{7\cdot 1}{3}+3 = 2$

$\displaystyle n=2 \rightarrow y=-\frac{2^3}{6}+\frac{3\cdot 2^2}{2}-\frac{7\cdot 2}{3}+3 = 3$

$\displaystyle n=3 \rightarrow y=-\frac{3^3}{6}+\frac{3\cdot 3^2}{2}-\frac{7\cdot 3}{3}+3 = 5$

$\displaystyle n=4 \rightarrow y=-\frac{4^3}{6}+\frac{3\cdot 4^2}{2}-\frac{7\cdot 4}{3}+3 = 7$

Uma conclusão precipitada é de que a fórmula fornece números primos $\forall  \in \mathbb{N}^*$. Mas essa indução também é falsa, pois:

$\displaystyle n=5 \rightarrow y=-\frac{5^3}{6}+\frac{3\cdot 5^2}{2}-\frac{7\cdot 5}{3}+3 = 8$

É necessário, portanto, dispor de um método com base lógica que permita demonstrar a validade de uma proposição para todos os números naturais.

Vamos considerar a igualdade:
$$
1+3+5+\cdots +(2n-1) = n^2
$$
Para todo $n \in \mathbb{N}^*$ essa igualdade expressa a propriedade: "a soma dos $n$ primeiros números ímpares positivos é dada por n^2$". 

Temos:
$n=1 \rightarrow 1 = 1^2$
$n=2 \rightarrow 1+3 = 4 = 2^2$
$n=3 \rightarrow 1+3+5 = 9 = 3^2$
$\vdots$
$n=10 \rightarrow 1+3+5+\cdots + 19=100=10^2$

Mesmo continuando a verificação para $n=1.000.000$, por exemplo, não fica provado que a fórmula é válida para todo $n$ natural.

Princípio da indução finita

Para provarmos que uma relação é válida para todo $n \in \mathbb{N}^*$ empregamos o princípio da indução finita, cujo enunciado pode ser escrito como:

Uma proposição $P(n)$ é aplicável a um número natural $n$, para todo $n \in \mathbb{N}$, com $n \geq 0$, quando:

i) $P(n_0)$ é verdadeira, isto é, a propriedade é válida para $n=n_0$, e

ii) Se $k \in \mathbb{N}$, $k \geq n_0$ e $P(k)$ é verdadeira, então $P(k+1)$ também é verdadeira.

Então a proposição $P(n)$ é verdadeira para todo $n \geq n_0$.

O princípio da indução finita consiste em duas etapas:

1 - Base de indução: Demonstrar que a proposição é verdadeira para o menor número natural, geralmente $P(0)$ ou $P(1)$.

2 - Passo indutivo: Demonstrar que, se a proposição é verdadeira para um número natural arbitrário $k$, então ela também é verdadeira para $k+1$.

Se ambas as etapas forem cumpridas, podemos concluir que a proposição $P(n)$ é verdadeira para todos os números naturais $n$.

Exemplo 3:

Vamos provar que a soma dos $n$ primeiros naturais ímpares é um quadrado:
$$
1+3+5+\cdots +(2n-1) = n^2
$$

Base de indução:
Vamos verificar que $P(1)$ é verdadeira:

$n=1 \rightarrow 1 = 1^2$

Passo indutivo:
Vamos admitir que a proposição é verdadeira para um número natural arbitrário $k$, ou seja, que $P(k)$ é verdadeira, com $k \in \mathbb{N}^*$.

A hipótese da indução é:
$$
\color{red}{1+3+5+\cdots + (2k-1)}=k^2 \tag{1}
$$
Provemos que, se $P(k)$ é verdadeira, então $P(k+1)$ também é:
$$
1+3+5+\cdots + (2k-1)+\Big(2(k+1)-1\Big) = (k+1)^2\\
\ \\
1+3+5+\cdots (2k-1)+2k+2-1 = (k+1)^2\\
\ \\
\color{red}{1+3+5+\cdots + (2k-1)}+(2k+1) = (k+1)^2
$$
Da equação $(1)$, temos que:
$$
1+3+5+\cdots + (2k-1)=k^2
$$
Substituindo na equação anterior, temos:
$$
k^2 + (2k+1) = (k+1)^2
$$
O que é igual a:
$$
(k+1)^2 = (k+1)^2
$$
Veja outra demonstração para esta proposição:

Exemplo 4:

Vamos provar que a soma dos $n$ primeiros números naturais é dada por:
$$
S(n) = \frac{n(n+1)}{2}
$$

Base de indução:
Vamos verificar que $S(1)$ é verdadeira:
$$
n=1 \rightarrow = \frac{1(1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1
$$

Passo indutivo:
Vamos assumir que a proposição é verdadeira para um número arbitrário $k$, ou seja, que $S(k)$ é verdadeira para $k \in \mathbb{N}^*$.

A hipótese da indução é:
$$
\color{red}{1+2+3+\cdots +k }= \frac{k(k+1)}{2} \tag{2}
$$
Provemos que, se $S(k)$ é verdadeira, então $S(k+1)$ também é:
$$
1+2=3+\cdots + k + (k+1) = \frac{(k+1)\Big((k+1)+1\Big)}{2}\\
\ \\
\color{red}{1+2+3+\cdots + k} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}
$$
Da equação $(2)$, temos que:
$$
1+2+3+\cdots +k= \frac{k(k+1)}{2}
$$
Substituindo na equação anterior, temos:
$$
\frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}\\
\ \\
\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}\\
\ \\
\frac{(k+1)(k+2)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}
$$

Referências:

  • Fundamentos de Matemática Elementar V1 - Gelson Iezzi

Veja mais:


Construção geométrica de retas paralelas com régua e compasso

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Duas retas são consideradas paralelas se estiverem no mesmo plano e não possuírem nenhum ponto em comum. Utilizamos o símbolo $s \parallel r$ para representar que a reta $s$ é paralela à reta $r$. Neste artigo veremos como construir retas paralelas utilizando apenas régua e compasso.

As retas paralelas podem ocorrer em 3 condições:
  • Uma reta paralela a uma distância qualquer de uma reta dada;
  • Uma reta paralela através de um ponto não pertencente a uma reta dada;
  • Uma reta paralela a uma distância determinada de uma reta dada.

1. Traçando uma reta paralela a uma distância qualquer de uma reta dada

  • Dada uma reta $r$, marcamos um ponto $A$ qualquer sobre a reta;
  • Com a ponta seca do compasso em $A$, descrevemos um arco marcando os pontos $B$ e $C$ nas intersecções com $r$;
  • Com um abertura do compasso menor que $\overline{BC}$, descrevemos dois arcos, um centrado em $B$ e outro em $C$, e marcamos como $D$ e $E$ as intersecções com o primeiro arco;
  • A reta que passa pelos pontos $D$ e $E$ é a reta $s$ paralela à reta $r$.
Tracando-uma-reta-paralela-a-uma-distancia-qualque-de-uma-reta-dada

2. Traçando uma reta paralela através de um ponto não pertencente a uma reta dada

  • Dada uma reta $r$ e um ponto $P$ não pertencente à $r$, descrevemos um arco centrado em $P$, com raio maior que a distância $\overline{rP}$, e marcamos como $A$ a intersecção com $r$;
  • Com raio $\overline{AP}$, descrevemos um arco centrado em $A$ passando por $P$ e marcamos como $B$ a intersecção com a reta $r$;
  • Centrado em $A$ e raio $\overline{BP}$, descrevemos um arco intersectando o primeiro arco em $C$;
  • A reta que passa pelos pontos $P$ e $C$ é a reta $s$ paralela à reta $r$.
tracando-uma-reta-paralela-atraves-de-um-ponto-nao-pertencente-a-uma-reta-dada

3. Traçando uma reta paralela a uma distância determinada e uma reta dada

Se quisermos traçar uma reta paralela a uma reta dada, a uma distância específica, primeiramente temos que determinar a menor distância entre as retas. Fazemos isso traçando uma perpendicularà reta dada através de um ponto qualquer.
  • Dada uma reta $r$, traçamos uma perpendicular a partir do ponto $A$;
  • Descrevemos um arco centrado em $A$ e marcamos como $B$ e $C$ as intersecções com a reta $r$;
  • Com centros em $B$ e $C$ e raio maior que $AB$, descrevemos dois arcos interceptando-se em $D$;
  • A reta que passa pelos pontos $A$ e $D$ é perpendicular à reta $r$.
tracando-uma-reta-paralela-a-uma-distancia-determinada-e-uma-reta-dada-1
  • Agora, definimos a distância $x$ que queremos que a retas paralelas estejam, medindo essa distância com a abertura do compasso.
  • Posicionamos a ponta seca do compasso em $A$ e descrevemos um arco cortando a perpendicular em $E$. Assim, o segmento $\overline{AE}=x$
Para traçarmos a paralela $s$ dispomos de pelo menos 3 métodos:

a) Escolhemos um outro ponto $A^\prime$ sobre a reta $r$, e traçamos outra perpendicular e transportamos a distância $x$ encontrando o ponto $E^\prime$. A reta que passa pelos pontos $E$ e $E^\prime$ é a reta paralela $s$ desejada.
tracando-uma-reta-paralela-a-uma-distancia-determinada-e-uma-reta-dada-2

b) Utilizamos o procedimento do tópico 2 para traçar uma paralela $s$ através do ponto $E$, encontrando o ponto $H$. A reta que passa pelos pontos $E$ e $H$ é a reta paralela $s$ desejada.
tracando-uma-reta-paralela-a-uma-distancia-determinada-e-uma-reta-dada-3

c) Podemos ainda, através do ponto $E$, traçar uma perpendicular ao segmento $\overline{AE}$, encontrando o ponto $L$. A reta que passa pelos pontos $E$ e $L$ é a reta paralela $s$ desejada.
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Veja mais:


Al-Karaji: sua contribuição para a aritmética, álgebra, teorema binomial e indução matemática

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al-karaji-o-genio-que-revolucionou-a-algebra

Abu Bakr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji, comumente conhecido como al-Karaji ou al-Karagi, foi um matemático e engenheiro persa que viveu no século X. Nascido em Karaj, próximo a Teerã, no Irã, al-Karaji fez contribuições significativas à álgebra e à matemática em geral, deixando um legado que influenciou gerações de matemáticos subsequentes.

Al-Karaji escreveu sobre trabalhos de matemáticos anteriores e pode ser considerado a primeira pessoa a libertar a álgebra das operações geométricas e substituí-las pelo tipo de operações que estão no cerne da álgebra hoje.

Pouco se sabe sobre a vida pessoal de al-Karaji. Estima-se que tenha vivido entre 953 e 1029 d.C. Ele provavelmente se mudou para Bagdá, então um grande centro de aprendizagem, onde realizou grande parte de seu trabalho. Bagdá, durante o período do Califado Abássida, era uma cidade vibrante, repleta de acadêmicos e intelectuais que contribuíram para o florescimento da ciência e da matemática.

Seu importante tratado sobre álgebra al-Fakhri foi dedicado ao governante de Bagdá e foi escrito na cidade, apresentando um estudo sistemático de expoentes algébricos e aplicações de operações aritméticas. No entanto, em algum momento posterior de sua carreira, al-Karaji deixou Bagdá para viver no que é descrito como os “países montanhosos”. Ele parece ter desistido da matemática nessa época e se concentrado em tópicos de engenharia, como a perfuração de poços.

Al-Karaji escreveu três livros importantes: al-Fakhri, al-Badi e al-Kafi. Nestes trabalhos, avançou significativamente a teoria da álgebra que havia sido desenvolvida por outros matemáticos, como al-Kowarizmi

A importância de al-Karaji no desenvolvimento da matemática é vista de forma diferente por diferentes autores. Alguns consideram que seu trabalho é meramente uma reformulação de ideias de matemáticos anteriores, enquanto outros o veem como a primeira pessoa a libertar completamente a álgebra das operações geométricas e substituí-las pelo tipo aritmético de operações que estão no cerne da álgebra atual.

O objetivo de al-Karaji era encontrar os meios de realizar a autonomia e a especificidade da álgebra, de modo a estar em posição de rejeitar, em particular, a representação geométrica das operações algébricas, operando com incógnitas usando todas as ferramentas aritméticas disponíveis, da mesma forma que o aritmético opera com o conhecido.

Al-Karaji também fez avanços importantes no estudo de polinômios, desenvolvendo técnicas para manipular e resolver equações polinomiais, incluindo multiplicação, divisão e extração de raízes de polinômios, sendo um dos primeiros matemáticos a explorar operações com polinômios de grau superior ao terceiro.

Na teoria dos números al-Karaji também fez contribuições significativas, explorando as propriedades de números inteiros, incluindo questões relacionadas a números primos e fatoração. Seus trabalhos fornecera, uma base para desenvolvimentos posteriores na teoria dos números, que continuaria a ser expandida por matemáticos islâmicos e europeus nos séculos seguintes.

Al-Karaji também aplicou seus conhecimentos matemáticos à engenharia. Escreveu tratados sobre hidrologia, discutindo métodos de irrigação e construção de canais, destacando sua habilidade em aplicar conceitos matemáticos a problemas práticos.

O que al-Karaji conseguiu em al-Fakhri foi definir os monômios: $x$, $x^2$, $x^3$, $\cdots$ e seus inversos: $\displaystyle \frac{1}{x}$, $\displaystyle \frac{1}{x^2}$, $\displaystyle \frac{1}{x^3}$, $\cdots$ e fornecer regras para produtos de quaisquer dois desses fatores. Na verdade, ele quase forneceu a fórmula:
$$
x^m\ x^n = x^{m+n}
$$
Mas não conseguiu definir, por exemplo, $x^0=1$.

Al-Karaji também usou uma forma de indução matemática em seus argumentos, embora ele certamente não dê uma exposição rigorosa do princípio da indução finita. Basicamente, o que Al-Kariji fez foi demonstrar um argumento para $n=1$ e depois provar o caso para $n=2$. Então provar o caso $n=3$ com base no resultado de $n=2$, continuando o processo até cerca de $n=5$. Embora não seja propriamente indução, foi um grande passo para a compreensão de provas indutivas.

Al-Karaji usa essa forma de indução em seus trabalhos sobre o teorema binomial, coeficientes binomiais e o “triângulo de Pascal”. Em al-Fakhri, al-Karaji calculou $(a+b)^3$ e em al-Badi calculou $(a-b)^3$ e $(a+b)^4$.

Al-Samawal (1130-1180), em seu livro al-Bahir, faz uma descrição do teorema binomial onde os coeficientes são dados pelo “triângulo de Pascal”, atribuindo a al-Karaji este trabalho notável. Na tradução de Rashed e Ahmad, al-Samawal escreve:

"Vamos relembrar um princípio para conhecer o número necessário de multiplicações desses graus entre si, para qualquer número dividido em duas partes $(a+b)$. al-Karaji disse que para ter sucesso, devemos colocar 1 em uma tabela e 1 abaixo do primeiro 1. Mover o primeiro 1 para a segunda coluna e somar o primeiro 1 como 1 abaixo dele, para obter 2, que colocamos abaixo do 1 da segunda coluna e colocamos um segundo 1 baixo do 2. Temos, então: 1, 2, 1."

Esta é uma bela descrição do teorema binomial usando o “triângulo de Pascal”. A descrição continua até os coeficientes binomiais para $(a+b)^5$, mas vamos citar apenas como al-Karaji constrói a terceira coluna a partira da segunda:

"Se transferirmos o 1 da segunda coluna para a terceira, somamos o 1 da segunda coluna com o 2 abaixo dele, obtendo 3, escrevendo-o sob o 1 da terceira coluna. Somamos o 2 da segunda coluna com o 1 abaixo dele, obtendo 3, escrevendo sob o 3 da terceira coluna. Então, escrevemos 1 sob o 3. E assim, obtemos a terceira coluna: 1, 3, 3, 1."

A tabela construída por al-Karaji é parecida com a imagem abaixo:
triangulo de pascal construido por aj-karji


Triângulo de Pascal construído por al-Karaji no século XI

Al-Karaji demonstrou a soma de cubos dos $n$ primeiros números naturais, multiplicando sua soma por si mesma. Em notação moderna, al-Karaji demonstrou a identidade:
$$
\sum_{k=1}^n \ k^3 = \left(\sum_{k=1}^n \ k\right)^2
$$
Al-Karaji mostrou que:
$$
(1+2+3+\cdots + 10)^2 = 1^3+2^3+\cdots +10^3
$$
Ele fez isso primeiro mostrando que:
$$
(1+2+\cdots + 10)^2 = (1+2+\cdots +9)^2+10^3
$$
E usou a mesma regra para:
$$
(1+2+\cdots +9)^2 = (1+2+\cdots +8)^2+9^3
$$
Em seguida:
$$
(1+2+\cdots + 8)^2 = (1+2+\cdots +7)^2 +8^3
$$
Para obter:
$$
(1+2+\cdots + 10)^2 = \\
(1+2+\cdots +9)^2 + 10^3=\\
(1+2+\cdots +8)^2+9^3+10^3=\\
(1+2+\cdots +7)^2+8^3+9^3+10^3=\\
\ \\ \vdots \\
\ \\
1^3+2^3+3^3+\cdots +10^3
$$
Al-Karaji, inicialmente, construiu um quadrado $ABCD$ de lado $(1+2+\cdots +n)$:
al-karaji-demonstracao-identidade-quadrados-cubos

Tomando a área do polígono $\Delta_1 = BCDD_1C_1B_1$, que é obtida pela diferença entre os quadrados $ABCD$ e $AB_1C_1D_1$:
al-karaji-demonstracao-identidade-quadrados-cubos-parte-2

$$
\Delta_1 = 2n(1+2+\cdots + n) - n^2
$$
A área $n^2$ é subtraída de $\Delta_1$ porque ela é somada duas vezes.

$$
1+2+\cdots +n = \frac{n(n+1)}{2}
$$
Fazendo a substituição, obtemos:
$$
\Delta_1 = 2n \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n^2\\
\ \\
\Delta_1 = n^2(n+1)-n^2\\
\ \\
\Delta_1 = n^3 + n^2 - n^2\\
\ \\
\Delta_1 = n^3
$$
De forma análoga, para a área do polígono $\Delta_2=B_1C_1D_1D_2C_2B_2$, encontramos:
$$
\Delta_2 = (n-1)^3
$$
Prosseguindo dessa forma, o quadrado $ABCD$ é decomposto como a soma dos polígonos $\Delta_n$:
$$
\square ABCD = \Delta_1+ \Delta_2 + \cdots + \Delta_{n-1} + \Delta_n \\
\ \\
(1+2+\cdots + n)^2 = 1^3 + s^3 + \cdots + n^3
$$
Esta é uma demonstração notável do poder das técnicas algébricas desenvolvidas por al-Karaji. Esta identidade não apenas revela uma relação profunda entre somas e cubos, mas também destaca a elegância e a beleza da matemática.

Al-Karaji, ao demonstrar essa identidade, mostrou uma habilidade notável em manipular expressões algébricas, afastando-se da dependência das representações geométricas usadas por matemáticos anteriores. Sua abordagem simbolizou um movimento significativo em direção à abstração matemática, inspirando um avanço para o desenvolvimento da álgebra moderna.

A identidade em si possui uma simetria e simplicidade fascinante, pois exemplifica como somas e produtos podem ser relacionados de maneiras não triviais, e como padrões emergem quando números são manipulados com regras algébricas.


Referências:


Veja mais:


Fórmula para o produto dos n primeiros termos de uma PG

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A fórmula para o produtos dos $n$ primeiros termos de uma progressão geométrica (PG), pode ser obtida usando a definição de PG, combinando propriedades da potenciação e a fórmula para a somada de uma PA.

Podemos escrever os $n$ primeiros termos de uma PG de razão $q$ como:
$$
a_1\ , \ a_1q \ , \ a_1q^2 \ , \ a_1q^3, \ \cdots \ , \ a_1q^{n-1}
$$
Queremos encontrar o produto desses $n$ termos:
$$
P_n = a_1 \cdot a_1q \cdot a_1q^2 \cdot a_1q^3 \cdot \ldots \cdot a_1q^{n-1}
$$
Reescrevemos o produto $P_n$ como:
$$
P_n = a_1^n \cdot q^{0+1+2+3+\cdots + (n-1)}
$$
Agora, precisamos somar os expoentes de $q$:
$$
0+1+2+3+\cdots +(n-1)
$$
Essa soma é uma progressão aritmética (PA), onde o primeiro termo é $a_1=0$ e o último termo é $a_n=n-1$. Utilizando a fórmula para da soma dos $n$ primeiros termos de uma PA, temos:
$$
S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}
$$
Substituímos os termos $a_1=0$ e $a_n=n-1$, obtemos:
$$
S_n = \frac{n\big(0+(n-1)\big)}{2}\\
\ \\
S_n = \frac{n(n-1)}{2}
$$
Assim, o expoente de $q$ é $\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}$. Substituímos de volta na expressão $P_n$, encontramos a fórmula para o produto dos $n$ primeiros termos de uma PG:
$$
\Large P_n = a_1^n \cdot q^{ \frac{n(n-1)}{2}}
$$

Exemplo 1:

Dada uma PG com primeiro termo $a_1 = 2$ e razão $q=3$, vamos encontrar o produto dos 4 primeiros termos dessa PG.

Os 4 primeiros termos dessa PG é:

$a_1 = 2 $
$a_2 = 2 \cdot 3 = 6$
$a_3 = 2 \cdot 3^2 = 18$
$a_4 = 2 \cdot 3^3 = 54$

Assim, temos que:
  • A razão $q=3$
  • O primeiro termo $a_1=2$
  • Número de termos $n=4$

Vamos usar a fórmula do produto dos primeiros $n$ termos de uma PG:
$$
\large P_n = a_1^n \cdot q^{ \frac{n(n-1)}{2}}\\
\ \\
\large P_4 = 2^4 \cdot 3^{\frac{4(4-1)}{2}}\\
\ \\
\large P_4 = 16 \cdot 3^6 \\
\ \\
\large P_4 = 16 \cdot 729\\
\ \\
\large P_4 = 11.664
$$
Portanto, o produto dos 4 primeiros termos desta PG é 11.664.

Realmente:
$$
2 \times 6 \times 18 \times 54 = 11.664
$$

Exemplo 2:

Dada a PG (2, 4, 8, 16, 32), vamos calcular o produtos dos 5 primeiros termos desta PG.

Podemos encontrar a razão $q$ desta PG, dividindo um termo pelo termo anterior:

$4 \div 2 = 2$
$8 \div 4 = 2$
$ 16 \div 8 = 2$
$32 \div 16 = 2$

Assim, temos que:
  • A razão $q=2$
  • O primeiro termo $a_1=2$
  • Número de termos $n=5$

Substituindo os dados na fórmula do produto dos $n$ primeiros termos de uma PG, obtermos:
$$
\large P_n = a_1^n \cdot q^{ \frac{n(n-1)}{2}}\\
\ \\
\large P_5 = 2^5 \cdot 2^{\frac{5(5-1)}{2}}\\
\ \\
\large P_5 = 32 \cdot 2^{10} \\
\ \\
\large P_5 = 32 \cdot 1024\\
\ \\
\large P_5 = 32.768
$$
Portanto, o produto dos 5 primeiros termos desta PG é 32.768.

Realmente:
$$
2 \times 4 \times 8 \times 16 \times 32 = 32.768
$$

Veja mais:

Fórmula para calcular o comprimento da bissetriz relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo

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A bissetriz interna de um triângulo retângulo é o segmento que divide um ângulo em dois ângulos congruentes, estendendo-se até o lado oposto. No caso de um triângulo retângulo, a bissetriz interna que parte do ângulo reto e segue até a hipotenusa pode ser calculada através de uma fórmula que depende apenas dos catetos:
$$
x = \frac{b  c \ \sqrt{2}}{b+c}
$$
onde: $x$ é o comprimento da bissetriz relativa à hipotenusa e $b$ e $c$ são os catetos do triângulo retângulo.

Demonstração:

demonstracao-formula-para-calcular-a-bissetriz-relativa-a-hipotenusa-de-um-triangulo-retangulo-

Tomando o triângulo retângulo $ABC$, reto em $A$, a bissetriz interna segue de $A$ interceptando a hipotenusa em $D$. Assim:
$$
x = \overline{AD}
$$
Traçamos um segmento paralelo ao cateto $b$, passando por $D$, interceptando p cateto $c$ em $E$. Assim:
$$
y = \overline{DE}
$$
Temos que o triângulo $BAC$ e $BED$ são semelhantes. Então:
$$
\frac{b}{y} = \frac{c}{c-y}\\
\ \\
cy = b(c-y)
$$
Obtendo:
$$
cy = bc - by \tag{1}
$$
Do triângulo $AED$, temos:
$$
x^2 = y^2 + y^2\\
\ \\
x^2 = 2y^2\\
\ \\
y^2 = \frac{x^2}{2}
$$
Obtendo:
$$
y = \frac{x}{\sqrt{2}} \tag{2}

$$
Substituindo a relação $(2)$ em $(1)$, obtemos:
$$
c \cdot \frac{x}{\sqrt{2}} = bc - b\cdot \frac{x}{\sqrt{2}}\\
\ \\
\frac{cx}{\sqrt{2}} + \frac{bx}{\sqrt{2}} = bc\\
\ \\
\frac{cx + bx}{\sqrt{2}} = bc\\
\ \\
cx + bx = bc\ \sqrt{2}\\
\ \\
x(c+b) = bc\ \sqrt{2}\\
$$
Obtendo:
$$
x = \frac{bc\ \sqrt{2}}{b+c}
$$
A fórmula acima fornece o comprimento da bissetriz interna relativa à hipotenusa de qualquer triângulo retângulo.

Exemplo 1:

Seja o triângulo retângulo de lados $(3,4,5)$. Vamos calcular o comprimento da bissetriz relativa À hipotenusa.
exemplo-formula-para-calcular-a-bissetriz-relativa-a-hipotenusa-de-um-triangulo-retangulo-

Aplicando os lados $b=3$ e $c=4$ na fórmula, obtemos:
$$
x = \frac{bc\ \sqrt{2}}{b+c}\\
\ \\
x = \frac{3\cdot 4 \cdot \sqrt{2}}{3+4}\\
\ \\
x = \frac{12 \sqrt{12}}{7}\\
\ \\
x \approx 2,424
$$

Caso particular:

Um caso particular ocorre quando o triângulo retângulo é isósceles, transformando a fórmula para calcular a bissetriz relativa à hipotenusa em:
$$
x = \frac{c\ \sqrt{2}}{2}
$$
onde, $c$ é a medida dos catetos.

Para deduzir esta fórmula, consideremos o triângulo retângulo isósceles abaixo:
demonstracao-formula-para-calcular-a-bissetriz-relativa-a-hipotenusa-de-um-triangulo-retangulo-caso-particular-

Do triângulo $ABC$, temos:
$$
a^2 = c^2+c^2
$$
Obtendo:
$$
a^2 = 2c^2 \tag{3}
$$
Como o triângulo $ABC$ é isósceles por definição, logo, a bissetriz intercepta a hipotenusa em seu ponto médio $D$. Assim, tomando o triângulo $ACD$, temos:
$$
c^2 = x^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2
$$
Obtendo:
$$
c^2 = x^2 + \frac{a^2}{4} \tag{4}
$$
Substituindo $(3)$ em $(4)$, obtemos:
$$
c^2 = x^2 + \frac{2c^2}{4}\\
\ \\
c^2 = x^2 + \frac{c^2}{2}\\
\ \\
x^2 = c^2 - \frac{c^2}{2}\\
\ \\
x^2 = \frac{c^2}{2}\\
\ \\
x = \frac{c}{\sqrt{2}}\\
\ \\
x = \frac{c\ \sqrt{2}}{2}
$$

Exemplo 2:

Seja o triângulo isósceles $ABC$ retângulo em $A$ e com catetos iguais a 2. Calcular o comprimento da bissetriz relativa à hipotenusa.
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Aplicando a fórmula, temos:
$$
x = \frac{c\ \sqrt{2}}{2}\\
\ \\
x = \frac{2\ \sqrt{2}}{2}\\
\ \\
x = \sqrt{2}
$$

Referências:

  • Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce

Veja mais:

Uma breve história da Alquimia à Química

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Conteúdo:

1. Introdução

2. Os Primórdios da Química

3. A Era dos Metais

4. As Primeiras Doutrinas

5. A Química no Início da Era Cristã

6. A Alquimia

7. A Iatroquímica

8. Os Precursores da Química Moderna

9. A Teoria do Flogisto

10. A Química Moderna


Introdução:

Embora sua origem remonte a mais de cinte séculos antes do advento da Era Cristã, a Química constituiu-se numa das mais jovens ciências naturais. Apesar de muitos dos conhecimentos que lhe deram nascença datarem de mais de 4 mil anos, somente no século XVII começou a Química a ganhar características de ciência, para consagrar-se definitivamente como tal na passagem do século XVIII para o XIX.

Uma resenha cronológica de sua evolução mostra que os conhecimentos da Química, acumulados até cerca de 200 anos, eram de duas ordens. De um lado incluíam um complexo desordenado de receitas, provindas do milenar Egito e enriquecidas com outras originárias dos hindus, chineses e árabes. Essas receitas ou fórmulas, transmitidas de geração em geração, permitiam a extração de metais a partir de seus minerais, bem como o fabrico de vidro, porcelana, corantes, bebidas alcoólicas, cosméticos e um sem-número de outros produtos. De outro lado, tais conhecimentos abrangiam um conjunto de doutrinas (herdadas dos antigos gregos), que não passavam de especulações metafísicas sobre a constituição da matéria. Excluídas algumas tentativas isoladas, feitas no passado mais adiante, de integração desses conhecimentos, um divórcio completo reinava entre os que se dedicavam a essas especulações e os que valiam daquelas receitas para a obtenção de algum produto útil. Os pensadores discutiam a natureza e a origem das coisas e ignoravam as operações executadas pelos artesãos para obtê-las. Estes procuravam, do melhor modo que podiam, a partir das matérias-primas naturais, preparar um sem-número de produtos de aplicação prática, mas desconheciam por completo as doutrinas formuladas pelos primeiros.

No período compreendido entre os últimos anos do século XVIII e os primeiros do XIX, a Química experimentou profunda transformação. Do conjunto desorganizado de conhecimentos empíricos e de especulações filosóficas de que, do mesmo modo que a Física, se fundamenta na observação, tem suas leis, suas hipóteses, suas teorias. Em suma, transformou-se num conjunto organizado e sistematizado de conhecimentos estruturado segundo a metodologia científica.

Os Primórdios da Química:

Perscrutando  o mais longínquo passado, tanto pelo exame de restos de objetos e utensílios deixados por antigas civilizações, é possível concluir que pelo menos 5 mil anos antes de Cristo na China e, mais recentemente, nas civilizações primitivas da Assíria e Babilônia, já se produziam diversos objetos de cerâmica, como também eram conhecidos e praticados rudimentares processos de extração de alguns metais.

Há mais de 4 mil anos a fabricação de seda e seu tingimento já eram do conhecimento dos povos do Extremo Oriente e, há mais de 30 séculos, esses mesmos povos utilizavam a pólvora, fabricavam porcelana e alguns vernizes, além de dominarem o curtimento de peles.

Os egípcios seguiram os chineses na prática de artes e no exercício de ofícios que hoje se vinculam à Química. Vinte séculos antes de Cristo já sabiam tingir tecidos, conheciam a utilização de tintas e vernizes, a fabricação de vidro, a produção de cosméticos, bem como a preparação de produtos farmacêuticos, particularmente venenos e substâncias necessárias ao embalsamento de cadáveres.
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[Imagem: https://motoursegypt.com/the-intricate-process-of-mummification-in-ancient-egypt/]

Os egípcios daquela época conheciam, entre outros produtos, a soda, a potassa, o alúmen, o nitrato de potássio e davam-lhe diferentes aplicações. Segundo alguns historiadores, a própria palavra Química derivaria do vocábulo Quemeia ou Chemeia, ou ainda Chemia, com o qual os egípcios designavam o seu país, por causa da cor escura de suas terras.

Das práticas de então, pela sua importância, merecem destaque as que permitam a obtenção de vários metais e ligas. Com o desenvolvimento da utilização dos materiais metálicos, confunde-se, nos primórdios, a própria história da Química.

A Era dos Metais:

O homem primitivo não conhecia os metais. Seus utensílios eram feitos de madeira, pedra, chifre, osso. O primeiro metal de cuja existência o homem tomou conhecimento parece ter sido o ouro. Encontrado em estado nativo nas areias de alguns rios, provavelmente deve ter chamado a atenção por sua cor e brilho. Adornos feitos de ouro foram encontrados juntamente com instrumentos de pedra que datam do denominado período neolítico (idade da pedra polida, mais de 5 mil anos antes de Cristo).
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[Imagem: https://minervamagazine.com/the-rise-of-rulers.html]

O segundo metal a ser conhecido deve ter sido o cobre. Objetos fundidos de cobre (que remontam a cerca de 3400 anos antes de Cristo), encontrados nas ruínas do velho Egito e da Mesopotâmia (atual Iraque), sugerem que os homens daquela época já sabiam extrair esse metal de alguns de seus minérios. Presume-se que o teriam casualmente obtido por redução da malaquita (extraída das minas do Sinai), mediante fogo produzido pela queima de carvão vegetal.
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[Imagem: https://www.penn.museum/sites/expedition/a-spectacular-discovery/]

Provavelmente, o emprego do bronze (liga de cobre e estanho) é posterior ao do cobre, embora objetos de bronze encontrados em certos lugares sejam da mesma época que outros de cobre: 34 séculos antes de Cristo. Na época das primeiras dinastias do Egito e na Grécia do tempo de Homero (séculos VIII a IX a.C.), o bronze desempenhou papel semelhante ao do ferro em nossos dias.
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[Imagem: https://www.reddit.com/r/Cowofgold_Essays/comments/r2rmsy/the_shrew_in_ancient_egypt/]

A origem do estanho utilizado na obtenção do bronze tem sido investigada e é altamente improvável que algumas de suas minas atualmente conhecidas já o tivesses sido naquela época. Segundo alguns, o estanho então usado proviria de uma região da Pérsia (atual Irã), de minas há muito tempo esgotadas.

Após a idade do bronze, seguiu-se a do ferro, que, segundo historiadores, remonta a 1200 anos antes de Cristo.


Embora os povos europeus e mediterrâneos só tivessem passado a conhecer e a utilizar o ferro após conhecer e utilizar o cobre, existe alguma evidência de que no Egito e na Índia o ferro teria sido usado antes do cobre. Por volta de 2000 anos antes de Cristo o ferro já era bastante utilizado no Egito e, segundo parece, vinha do país dos hititas, nas proximidades do Mar Negro.

As Primeiras Doutrinas:

Se, pelo visto, no antigo Egito e nas regiões circunvizinhas, a História encontra exemplos da prática de artes e ofícios ligados ao campo da Química, é na velha Grécia que ela localiza os primeiros pensadores interessados em assuntos tais como a estrutura da matéria. Esses pensadores, pretendendo explicar a origem e a natureza das coisas, julgavam possível encontrar em um só elemento, ou substância, a origem do Universo.

Foi Tales de Mileto (624 - 546 a.C.) que, pela primeira vez, expressou a convicção de que deveria existir no Universo um grande princípio da unidade, vinculando entre si todos os fenômenos e tornando-os racionalmente inteligíveis. E mais: "Por trás de toda diversidade aparente das coisas que nos cercam existe um elemento primordial que entra na composição de todas as coisas". A busca desse elemento primordial deveria ser o objeto do próprio conhecimento.

Para Tales, esse elemento primordial seria a água. Para Anaxímenes de Mileto (588 - 524 a.C.) deveria ser o ar e para Heráclito de Éfeso (540 - 470 a.C.) tudo resultaria do fogo.

Na mesma época em que se buscava estabelecer a natureza do elemento único gerador do Universo, começaram a surgir, com Leucipo e Demócrito, também as primeiras ideias a respeito da estrutura discreta da matéria e, portanto, da existência de átomos.

Levado pelo desejo de explicar de que são feitas as coisas, Empédocles (495 - 430 a.C.), ponderando os princípios dos que o precederam, postulou como origem de tudo que o cercava um conjunto de quatro elementos: terra, ar, água e fogo. É que tudo parecia originar-se desses quatro elementos fundamentais e a eles, também, reverter.
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Em essência, a teoria dos quatro elementos sustentava que da terra, do ar, da água e do fogo derivam as variedades de matéria existentes na Terra e no Universo. Um "prova" manifesta de que os quatro elementos são estes ter-se-ia no fato de que, ao queimar-se uma acha de lenha, observa-se:
  1. Surge o fogo;
  2. A água ferve, borbulhando e chiando na extremidade da acha;
  3. A fumaça eleva-se no ar e nele se dissipa, provando assim ser da mesma natureza do ar;
  4. Surge como resíduo uma cinza terrosa.

A teoria dos quatro elementos, aceita pelos gregos, egípcios, hebreus, indianos e chineses, persistiu por mais de vinte séculos (quatro antes e dezesseis depois de Cristo), amparada pelo prestígio de Aristóteles (384 - 322 a.C.), seu grande divulgador.

Aristóteles de Stagira, célebre pensador que antecedeu a Cristo em mais de três séculos, desenvolveu a suposição de que todas as variedades de matéria estão formadas por uma única matéria primitiva chamada hylé e que a ela podem ser conferidas diferentes formas ou eidos. Essa hylé constituiria quatro elementos distintos cujas propriedades essenciais seriam o quente, o frio, o úmido e o seco. Os quatro elementos: fogo, ar, água e terra, funcionariam como suportes dessas propriedades.

A água seria o elemento que, presente na matéria, lhe conferiria as propriedades de fria e úmida; o fogo seria o componente responsável pela matéria ser quente e seca; a presença de ar na matéria faria com que ela fosse quente e úmida, enquanto a da terra torná-la-ia seca e fria.

Se à assertiva corresponde uma verdade ou não, pouco importa. O erro, a qualquer momento, será notado e excluído, na faina bonita da busca pela verdade. O importante é que na imaginação esteja sempre cogitando a perseguir novas concepções, a procurar novos horizontes, a buscar o novo.

De fato, em suas especulações sobre o Universo e sobre o homem, Aristóteles, usando largamente sua imaginosa inteligência, juntou aos quatro elementos de Empédocles mais um: a "quinta essência", de natureza etérea e semiespiritual. Esses elementos e mais duas cósmicas (o amor e o ódio) seriam as raízes de tudo.

A Química no Início da Era Cristã:

Com a decadência da antiga Grécia e a ascensão do império romano, ocorreu uma estagnação, ou até mesmo uma involução, no conhecimento humano. Os romanos, célebres por sua dedicação às guerras de conquista e seu amor ao Direito, pouco ou nada fizeram pelo desenvolvimento das ciências naturais.

Os primeiros passos dados pelos gregos, de seis a cinco séculos antes de Cristo, rumo ao conhecimento da estrutura e do comportamento das diversas espécies de matéria, ficaram por muito tempo sem seguidores. A História registra como de maior expressão os nome de Epicuro e Lucrécio, que viveram respectivamente por volta de 300 e 50 anos a.C., como continuadores e defensores das doutrinas atomistas, e cita também Arquimedes (280 a.C.), um dos precursores do emprego do método experimental para o desenvolvimento do conhecimento científico.

Entre o início e até o ano 50 da Era Cristã, surgiram em Alexandria, então grande centro cultural do Egito e do mundo ocidental, os primeiros tratados da divina arte. Escritos em grego, esses tratados versam sobre os primitivos conhecimentos de Química e contêm inúmeras expressões técnicas que não figuram nos dicionários gregos. É indubitável que seus autores recorriam a nomes e expressões estranhas. com o objetivo de ocultar (do leigo) o que se escrevia.

Em 296 a palavra química aparece em um édito do imperador Diocleciano, ordenando a queima em Alexandria dos livros que tratavam de  Chemeia ou Chemia.

Por volta dos anos 300, ainda no Egito, Zósimo de Panópolis descreveu um grande número de operações "químicas", tais como a dissolução, cristalização, filtração, fusão, sublimação, destilação, entre outras, além de várias substâncias, reações químicas e aparelhos utilizados na sua obtenção. Na mesma época surge a crença quanto à possibilidade de transmutar os metais, fundamentada nos efeitos produzidos sobre a cor dos metais pelo mercúrio, enxofre e arsênio. O cobre, por exemplo, poderia ser convertido em um metal parecido com a prata, por tratamento com arsênio. O agente que deveria ensejar a transmutação dos metais foi chamado mais tarde pelos árabes por elixir (ou aliksir) e pelos alquimistas europeus como pedra filosofal.

A Alquimia:

No século VII, com a invasão do Egito pelos árabes, surge entre estes uma espécie de ciência. Com base nos conhecimentos empíricos herdados dos velhos egípcios e nas especulações filosóficas que, importadas da Grécia antiga por Alexandria, tinham recebido aí algumas tinturas de misticismo oriental, nasce a Alquimia. Da aposição do prefixo "al", tipicamente árabe, ao nome original Chemia formou-se provavelmente o dessa pseudociência.

Aos quatro princípios ou propriedades essenciais da matéria, de Aristóteles, e aos outros tantos elementos, a Alquimia reúne mais dois: a combustibilidade e a metalicidade que teriam como suporte, respectivamente, o enxofre e o mercúrio.

De acordo com as ideias dos alquimistas, qualquer espécie de matéria poderia ser obtida a partir desses elementos básicos, combinando-os em diferentes proporções. Em particular, a partir do enxofre e do mercúrio poder-se-ia obter qualquer material. O mercúrio entraria com as propriedades metálicas e o enxofre conferiria ao metal a sua colaboração e outras propriedades especiais.

Em que pesem as inúmeras tentativas de sintetizar diferentes metais a partir do mercúrio e do enxofre, os alquimistas jamais o conseguiram. Diante desse insucesso, voltaram-se para outra tarefa, A Grande Obra, ou seja, a transformação dos metais ordinários em nobres, por contato com a pedra filosofal, Quanto a esta, sua obtenção deveria ser possível a partir dos mesmos elementos... e mais um pouco de sal!

A Alquimia foi introduzida na Europa em princípios do século XII pelas traduções feitas na Espanha de obras árabes sobre a divina arte. A ela se dedicaram muitos intelectuais que, honestamente, buscavam a pedra filosofal (elemento de toque que deveria ensejar não só a transmutação dos metais como também a cura de doenças e o prolongamento indefinido da vida) e também numerosos charlatões que fingiam ter conseguido a transmutação de metais vis em ouro e procuraram prová-lo por de um sem-número de mistificações.

Alguns dos grandes escolásticos do século XIII dedicaram-se à Alquimia e deixaram vários escritos a respeito: Santo Alberto Magno, famoso pensador alemão, professor e sacerdote, São Tomás de Aquino, dominicano e filósofo italiano, e Roger Bacon, filosofo formado em Oxford, pertencente à Ordem Franciscana. Para Bacon, a Alquimia deveria ser contemplada de dois pontos de vista:
  1. Especulativo, quando tratava da formação das coisas a partir dos elementos;]
  2. Operativo, quando ensinava como obter coisas artificialmente, inclusive o ouro, melhores que os naturais.

É claro que os alquimistas malograram na realização da grande obra. Entretanto, no correr da busca da pedra filosofal e do elixir da longa vida, descobriram muitas substâncias, particularmente vários sais, e desenvolveram os métodos básicos de sua obtenção e purificação. Essas descobertas, realizadas em sombrios laboratórios entulhados com inúmeros utensílios e vasos com as mais variadas e estranhas formas, registradas como notação cabalísticas, que visavam a cercá-las de absoluto sigilo, e das quais muitas por isso mesmo se perderam, constituem a principal contribuição da Alquimia para o desenvolvimento posterior da Química.
alguns simbolos alquimicos

Com o objetivo de manter secretas suas observações e anotações, criaram uma simbologia para designar os materiais ou recursos dos quais se valiam em seus trabalhos, simbologia essa cujo conhecimento era acessível apenas aos iniciados da divina arte. Alguns desses símbolos que, juntamente com outros, constituíram a origem da simbologia moderna da Química estão indicados na figura acima.

A Iatroquímica

Uma profunda reforma nos objetivos da Alquimia teve lugar na primeira metade do século XVI, coincidentemente com o advento da imprensa. Seu promotor, Paracelso (1493-1541), médico e cirurgião, criou a Iatroquímica, isto é, a Química a serviço da Medicina. Escreveu Paracelso:

"O objetivo da Química não reside na obtenção de ouro e prata, mas no preparo de medicamentos e na explicação dos processos que têm lugar nos organismos vivos".

Partindo do princípio de que todos os seres são constituídos por três elementos (tria prima) em diferentes proporções, sal (corpo), mercúrio (alma) e enxofre (espírito), acreditava que as moléstias provinham da falta de um desses elementos no organismo. Consequentemente, qualquer doença poderia ser curada por introdução no organismo do elemento faltante. Por curioso que possa parecer, Paracelso obteve sucesso com os métodos de tratamento por ele preconizados, mediante o uso de compostos inorgânicos, a ponto de fazer com que muitos médicos abandonassem o uso de extratos orgânicos na terapêutica e se interessassem pela Iatroquímica. Esse fato, sem dúvida, contribuiu para o desenvolvimento da Química, uma vez que ensejou a aplicação prática de seus produtos.

A obra de Paracelso é cheia de ideias místicas. Acreditava na astrologia e associava as diferentes partes do corpo humano aos astros. Por exemplo, o coração ao Sol, o cérebro à Lua, o fígado a Júpiter, etc. Admitia que a digestão se produz pela intervenção de um ser espiritual que existiria no estômago...

Embora nem sempre concordando com Paracelso, dedicaram-se também à Iatroquímica: Agrícola, Sylvius, Glauber, Libavius e outros.

Os Precursores da Química Moderna:

Foi o nascente espírito científico, surgido no século XVII, que veio pôr termo ao longo reinado da Alquimia, com o aparecimento dos primeiros químicos. Estes, dos quais Van Helmont (1577-1644), Boyle (1627-1691) e Hooke (1635-1703) são alguns exemplos, rompendo com a tradição filosófica até então enraizada, passaram eles mesmos a experimentar, isto é, a observar diretamente certos fenômenos e a reproduzi-los em condições que permitiam sua melhor observação.

Com os trabalhos experimentais desenvolvidos a partir de então, foi sendo, aos poucos, reformulado o modo de pensar em relação aos componentes da matéria. Em particular, ao introduzir em 1660 o conceito experimental de elemento, Robert Boyle alterou profundamente a atitude mental dos pesquisadores quanto à fenomenologia química. Boyle mostrou que o ar não é um elemento, mas sim uma mistura de gases.

Algo semelhante ao feito de Boyle em relação ao ar foi conseguido, bem mais tarde, por Henry Cavendish (1731-1810) em relação à água, ao mostrar que esta, longe de ser um elemento, é na verdade uma substância composta de hidrogênio e oxigênio.

No que diz respeito à terra aconteceu algo parecido. De há muito sabia-se que dela é possível extrair metais como a prata, ouro, cobre, ferro, estanho, entre outros, sugerindo que, dada sua complexidade, ela não poderia constituir um elemento.

Quanto ao fogo, travou-se longa e acirrada polêmica para explicar sua origem. Sua compreensão e explicação só foram possíveis no século XVIII quando Lavoisier (1743-1794) mostrou que o fogo em si não é uma variedade de matéria. A combustão envolve uma ação recíproca de material combustível e oxigênio, isto é, uma reação química entre combustível e oxigênio.

Abandonada a ideia da existência de quatro elementos, relegada ao passado também ficou a crença mitológica e cabalística de que cada um desses elementos tinha seu espírito ou gênio guardião: silfos, que residiam no ar, ondinas, na água, gnomos subterrâneos e salamandras que eram habitantes do fogo...

A Teoria do Flogisto:

Os trabalhos de Boyle no século XVII, e particularmente o se método de pesquisa, tiveram grande influência sobre o posterior desenvolvimento da Química como ciência. Assim mesmo foi preciso que ainda um século se escoasse para que a Química se libertasse inteiramente da influência aristotélica sobre a constituição da matéria e passasse a adotar o método científico. Esse período (século XVIII) é marcado pelo advento e, curiosamente, pela consagração da chamada a teoria do flogisto, criada pelo alemão Georg Ernst Stahl, por volta de 1700. 

A teoria de Stahal surgiu da necessidade, enfrentada pelos químicos da época, de explicar os fenômenos de combustão, oxidação e redução dos metais, fenômenos esses intimamente ligados à técnica metalúrgica, que vinha então de um grande progresso experimentado no século XVII.

Segundo Stahl, todas as substâncias combustíveis e os metais, em particular, conteriam um princípio inflamável ou matéria ígnea denominada flogisto. Ao se queimar uma substância combustível, ou ao ser calcinado um metal, o flogisto se desprenderia, deixando um resíduo terroso: a cal. A combustão seria então um processo de decomposição de uma substância em flogisto e no correspondente resíduo terroso. Assim, na calcinação do ferro, ter-se-ia:
$$
\text{ferro} \rightarrow \text{flogisto} + \text{cal ferrosa}
$$
Uma substância que, como o carvão ou enxofre, deixa um resíduo terroso insignificante, seria extremamente rica em flogisto. Nessa linha de raciocínio, reciprocamente, o flogisto também poderia ser adicionado a uma substância incombustível (uma cal), aquecendo-a em presença de carvão, que é muito rico em flogisto. Pr exemplo:
$$
\text{cal ferrosa} + \text{flogisto (carvão)} \rightarrow \text{ferro}
$$
O aumento de massa experimentado por um metal após a sua combustão, e que poderia ser apontado como contraditório com a perda de flogisto, não constituiu obstáculo à aceitação da teoria de Stahl. Seus partidário admitiam que o flogisto seria extremamente leve e, ao contrário dos outros corpos, não seria atraído pela Terra, mas, sim, repelido por ela! Em consequência, quanto maior fosse o teor de flogisto num corpo, mais leve seria, e um corpo ao perder flogisto resultaria mais pesado!

Por estranho que possa parecer, p fato de o ar ser indispensável ao processo da combustão era justificado com a suposição de que durante a combustão não se realiza apenas um desprendimento de flogisto, mas também uma combinação sua com o ar. Não existindo ar, a combustão deve cessar por inexistência de algo que possa combinar-se com o flogisto.

A teoria do flogisto vigorou durante muito tempo, uma vez que permitia explicar razoavelmente muitos fatos conhecidos na época, e só foi abandonada quando se percebeu sua artificialidade e nela se reconheceu um obstáculo sério ao progresso da Química. Foram os trabalhos de Lavoisier, na segunda metade do século XVIII, que levaram à atual interpretação da combustão (reação com oxigênio) e determinaram o abandono da teoria de Stahl.

A Química Moderna:

Entre fins do século XVIII e início do século XIX, a Química passou por uma profunda transformação: de conjunto de receitas empíricas, de um lado, e de um punhado de doutrinas sem fundamento experimental, de outro lado, ganhou as características de uma Ciência natural, cujos conhecimentos se estruturam segundo o método científico.

Entenda-se "Ciência" como um termo empregado para designar um conjunto organizado e sistematizado de conhecimentos, adquiridos pela utilização de método científico, que envolve, como sucessivas etapas, a coleta de dados, isto é, a observação, a generalização dos fatos observados, a formulação de hipóteses que os explicam, a verificação da concordância entre os resultados que derivam da teoria e da prática, bem como a previsão da ocorrência de fatos até então desconhecidos.

Vários fatos se conjugaram para conferir a Química, em definitivo, as feições de uma ciência moderna. Um dele encontra-se nos já mencionados trabalhos de Lavoisier sobre a combustão. Os resultados dessas pesquisas, além de levarem ao definitivo esquecimento da teoria dos quatro elementos, conduziram, também, ao abandono da teoria do flogisto. Outro fato foi a descoberta das leis estequiométricas, cuja formulação veio mostrar que as reações químicas obedecem a determinadas relações quantitativas definidas pela Química. É o caso da lei da conservação das massas, de Lavoisier, enunciada em 1774; da lei das proporções definidas, formulada em 1797 por Proust; da lei das proporções recíprocas de Ritcher (1792); das leis das proporções múltiplas de Dalton (1803) e das leis volumétricas de Gay-Lussac (1809).

A Química, com a Física, a Geologia e a Astronomia, integra o grupo de ciências físicas, que, juntamente com as ciências biológicas, constituem as chamadas ciências naturais.

Do ponto de vista doutrinário, uma importante contribuição para o desenvolvimento da Química como ciência natural foi o estabelecimento entre 1803 e 1808 da teoria atômica de Dalton, teoria essa que, longe de constituir mera especulação mental sobre a constituição da matéria, permitiu uma explicação racional de fatos observados na experiência. Ao admitir que os átomos de um mesmo elemento têm a mesma massa, Dalton ensejou a justificação das leis estequiométricas estabelecidas alguns anos atrás.

A teoria atômica trouxe consigo um problema que por muito tempo desafiou os químicos da primeira metade do século XIX: a determinação das massas relativas dos átomos, isto é, das massas. A solução desse e de outros problemas como, por exemplo, a compatibilização entre a teoria de Dalton e as leis estequiométricas de Gay-Lussac, exigiu a introdução do conceito de molécula e a formulação por Avogadro (1811) de sua célebre hipótese que, por sua vez, conduziu ao desenvolvimento da Teoria Atômico-Molecular Clássica.

Ao longo do século XIX o progresso da Química foi vertiginoso. No seu início desenvolveu-se com características peculiares a Química Orgânica. Esta, à época em que surgiu nos fins do século XVII, tinha por objeto o estudo das substâncias organizadas, isto é, das espécies químicas existentes e sintetizadas nos organismos vivos. Supunha-se então que tais substâncias, cujo constituinte essencial é o carbono, não poderiam ser obtidas artificialmente. Entretanto, a parit de 1828 iniciou-se a preparação em laboratório de muitas dessas substâncias orgânicas e de numerosas outras inexistentes na natureza.

Na segunda metade do século XIX (1869) apareceu a tabela periódica de Mendeleev, que permitiu o estudo sistemático das propriedades dos elementos químicos e levou aos primeiros indícios da estrutura complexa dos átomos. Quase no final do mesmo século nasceu a Físico-Química, destinada a servir de ponte entre a Física e a Química, e descobriu-se a radioatividade, cujo conhecimento veio alterar profundamente muitas das ideias então vigentes sobre a estrutura da matéria e, ao mesmo tempo, contribuir para o desenvolvimento da atomística moderna.

Ocidentalizou-se o nome de Mendeleiev a partir da grafia russa, por isso aparecem na literatura inúmeras formas de se escrever o seu nome. A que tem reconhecimento geral e que parece ter mais lógica, sendo a tradução mais correta para o inglês, é Mendeleyev. A forma Mendeleev é a que ele assinava em inglês; mas existem ainda Mendeléev, Mendeleiév, Mendeleieff, entre outras.
tabela-periodiva-mendeleev
[Tabela proposta por Mendeleev em 1869]

Atualmente, a Química constitui uma ciência extremamente vasta que se ocupa das propriedades, constituição e transformação das numerosas espécies de matéria, naturais e artificiais, existentes no Universo. No início da década de 1970 o número dessas espécies conhecidas já superava um milhão! Longe de ser uma ciência estanque, a Química relaciona-se bastante com a Física, a Biologia, a Geologia e até mesmo com a Astronomia, quando esta última investiga a estrutura e a composição dos corpos celestes.

A enorme amplitude do seu objeto determinou a subdivisão da Química em diversos ramos, cada qual dedicado a um campo especializado. Entre esses ramos destacam-se:

a) Química Geral, que trata dos princípios fundamentais relativo à constituição e às propriedades das diversas espécies de matéria;

b) Química Inorgânica, que estuda as propriedades dos elementos e das substâncias compostas pertencentes ao reino mineral, portanto de todas as substâncias conhecidas, com exclusão da quase totalidade dos compostos de carbono;

c) Química Orgânica, que estuda, com exclusão de alguns poucos, os compostos de carbono;

d) Química Analítica, cuja finalidade é estudar os métodos de identificação e determinação dos componentes das várias espécies de matéria - misturas e substâncias puras;

e) Físico-Química, que constitui uma Química Geral Superior e estuda as correlações entre as propriedades das diferentes substâncias e suas estruturas. Ela se ocupa, particularmente, das propriedades mensuráveis, do desenvolvimento e racionalização dos métodos e instrumentos de medição, além das teorias que permitem prever os valores de propriedades que podem ser confirmados por verificações experimentais;

f) Bioquímica, que trata dos processos químicos que se desenrolam nos seres vivos. Ela inclui desde o estudo dos compostos presentes em determinados sistema biológicos até os mais avançados mecanismo de transformação desses compostos em outros.

Constituem também campos específicos da Química, entre outros, a Eletroquímica, a Termoquímica e a Radioquímica.

Para dar uma ideia das várias áreas que se desenvolve atualmente a Química, é interessante registrar que a American Chemical Society classifica seus membros, em função de suas atividades, em cerca de 30 divisões profissionais, entre as quais se incluem as de Química dos Alimentos, Química Agrícola, Química Biológica, Química da Celulose, Madeira e Fibras, Mercadologia e Economia Química, Química Coloidal e das Superfícies, Química dos Fertilizantes e do Solo, Química dos Combustíveis, Química Industrial, Engenharia Química, Química Médica, Química Nuclear, Química dos Plásticos, Química dos Pesticidas, Química do Petróleo, Química da Borracha, Química da Água, do Ar e do Solo e muitas outras.


Referências:

  • Química Geral - I. M. Rozenberg

Veja mais:

Como calcular a área do triângulo através do determinante

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A área de um triângulo é uma das primeiras propriedades da Geometria que aprendemos na Matemática. Embora a fórmula:
$$
\text{Área} = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2}
$$
seja amplamente conhecida, existem outras formas elegantes e matematicamente interessantes de calcular a área de um triângulo, especialmente utilizando as coordenadas dos vértices no plano cartesiano. Um dessas formas envolve o uso de determinantes.

Vamos considerar um triângulo no plano cartesiano cujos vértices são dados pelas coordenadas $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ e $C(x_C,y_C)$:
como-calcular-a-area-de-triangulo-com-determinante-o-baricentro-da-mente-kleber-kilhian
Observando a imagem acima, podemos decompor a área do triângulo $ABC$ na soma de outros dois triângulos:
$$
A_{\triangle\ ABC} = A_{\triangle\ ABE} + A_{\triangle\ AEC}
$$
Utilizando a fórmula tradicional para a área do triângulo, temos que:
$$
A_\triangle\ ABE = \frac{AE \cdot BD}{2}
$$
e
$$
A_{\triangle\ AEC} = \frac{AE \cdot CF}{2}
$$

Cálculo da abscissa de $E$:

Para encontrarmos a coordenada da abscissa de $E$, vamos usar semelhança de triângulos. Temos que os triângulos $CEF$ e $CBG$ são semelhantes, assim:
$$
\frac{EF}{BG} = \frac{CF}{CG}\\
\ \\
\frac{x_C-x_E}{x_C-x_B} = \frac{y_A-y_C}{y_B-y_C}\\
\ \\
x_C-x_E = \frac{(x_C-x_B)(y_A-y_C)}{y_B-y_C}\\
\ \\
x_E = x_C - \frac{(x_C-x_B)(y_A-y_C)}{y_B-y_C}
$$

Cálculo do segmento $AE$:

O comprimento do segmento $AE$ é dado por:
$$
AE = x_E - x_A
$$
Substituindo a coordenada da abscissa de $E$, encontramos:
$$
AE = x_C -\frac{(x_C-x_B)(y_A-y_C)}{y_B-y_C} - x_A\\
\ \\
AE = x_C-x_A - \frac{(x_C-x_B)(y_A-y_C)}{y_B-y_C}\\
\ \\
AE = \frac{(x_C-x_A)(y_B-y_C) - (x_C-x_B)(y_A-y_C)}{y_B-y_C}
$$

Cálculo do triângulo $ABC$:

Como a área do triângulo $ABC$ ´igual à soma dos triângulos $ABE$ e $AEC$, temos:
$$
A_{\triangle\ ABC} = \frac{AE \cdot BD}{2} + \frac{AE \cdot CF}{2}\\
\ \\
A_{\triangle\ ABC} = \frac{AE(BD + CF)}{2}
$$
Se observarmos a figura, podemos ver que:
$$
BD + CF = CG = y_B - y_C
$$
Assim:
$$
A_{\triangle\ ABC} = \frac{AE \cdot CG}{2}\\
\ \\
A_{\triangle\ ABC} = \frac{ \displaystyle \frac{(x_C-x_A)(y_B-y_C) - (x_C-x_B)(y_A-y_C)}{y_B-y_C} \cdot (y_B-y_C)}{2}\\
\ \\
A_{\triangle\ ABC} = \frac{(x_C-x_A)(y_B-y_C) - (x_C-x_B)(y_A-y_C)}{2}\\
\ \\
A_{\triangle\ ABC} = \frac{x_C y_B - x_C y_C - x_A y_B + x_A y_C - (x_C y_A - x_C y_C - x_B y_A + x_B y_C)}{2}\\
\ \\
A_{\triangle\ ABC} = \frac{x_C y_B - x_A y_B + x_A y_C - x_C y_A - x_B y_C + x_B y_A}{2}\\
\ \\
A_{\triangle\ ABC} = \frac{x_Ay_C + x_By_A + x_Cy_B - x_Ay_B - x_By_C - x_Cy_A}{2}
$$
Quando comparamos a fórmula acima com o determinante da matriz $3\times 3$, onde uma das colunas são as coordenadas das abscissas de um triângulo, a outra são as coordenadas das ordenadas e a outra é preenchida com 1:
$$
D =
\begin{vmatrix}
x_A & y_A & 1\\
x_B & y_B & 1\\
x_C & y_C & 1
\end{vmatrix}
=
x_Ay_B + x_By_C + x_Cy_A - x_Ay_C- x_By_A - x_Cy_B
$$
podemos observar algumas semelhanças: primeiro que as parcelas são iguais, mas com os sinais trocados e a fórmula da área possui um denominador igual a 2.

Assim, podemos escrever a fórmula da área de um triângulo usando o módulo do determinante, dividido por dois:
$$
A_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot |D|
$$
onde:
$$
D =
\begin{vmatrix}
x_A & y_A & 1\\
x_B & y_B & 1\\
x_C & y_C & 1
\end{vmatrix}
$$

Exemplo 1:

Calcular a área do triângulo de vértices $A(4,2)$, $B(-3,-1)$ e $C(-5,0)$.
como-calcular-a-area-de-triangulo-com-determinante-o-baricentro-da-mente-ex1
Primeiramente vamos calcular o determinante:
$$
D =
\begin{vmatrix}
4 & 2 & 1\\
-3 & -1 &1\\
-5 & 0 & 1
\end{vmatrix}
$$
Podemos utilizar a Regra de Sarrus para calcular o determinante:
$$
D =
\begin{vmatrix}
4 & 2 & 1\\
-3 & -1 &1\\
-5 & 0 & 1
\end{vmatrix}
\begin{matrix}
4 & 2\\
-3 & -1\\
-5 & 0
\end{matrix}
\\
\ \\
D = -4 -10 - 5 + 6\\
\ \\
D = -13
$$
Agora, aplicamos na fórmula para a área do triângulo:
$$
A = \frac{1}{2} \cdot |D|\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \cdot |-13|\\
\ \\
A = \frac{13}{2}
$$
Assim, a área do triângulo possui $\displaystyle \frac{13}{2}$ unidades de área.

Exemplo 2:

Calcular a área do triângulo de vértices $A(2,-3)$, $B(3,2)$ e $C(-2,5)$.
como-calcular-a-area-de-triangulo-com-determinante-o-baricentro-da-mente-ex2
Calculamos o determinante:
$$
D =
\begin{vmatrix}
2 & -3 & 1\\
3 & 2 & 1\\
-2 & 5 & 1
\end{vmatrix}
\begin{matrix}
2 & -3\\
3 & 2 \\
-2 & 5
\end{matrix}
\\
\ \\
D = 4 + 6 + 15 + 4 -10 + 9\\
\ \\
D = 28
$$
Aplicamos na fórmula par aa área do triângulo:
$$
A = \frac{1}{2} \cdot |D|\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \cdot 28\\
\ \\
A = 14
$$
Assim, a área do triângulo possui 14 unidades de área.


Referências

  • Matemática para o Ensino Médio V3 - Katia Stocco Smole & Maria Ignez Diniz

Veja mais:




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A equação reduzida e geral da circunferência

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A circunferência é conhecido desde antes do início da história registrada. As circunferência naturais são comuns, como a lua cheia ou uma fatia de fruta redonda. A circunferência é a base da roda, que, com invenções relacionadas, como as engrenagens, torna possível grande parte do maquinário moderno. Na matemática, o estudo da circunferência ajudou a inspirar o desenvolvimento da geometria, da astronomia e do cálculo [Wikipédia]. Por conta de suas inúmeras propriedades e características, a circunferência é uma das figuras geométricas mais estudadas na Matemática desde a Grécia Antiga.

A equação reduzida da circunferência

A forma mais comum de expressar a equação de uma circunferência é através da equação reduzida, dada por:
$$
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \tag{1}
$$
onde $(a,b)$ são as coordenadas do centro da circunferência e $r$ é o raio da circunferência.

Na Geometria Analítica associamos a circunferência a uma equação a partir de sua definição.

Definição:Circunferência é o conjunto de pontos de um plano que estão a uma mesma distância $r$ de um ponto fixo $C$, chamado de centro (ou origem) da circunferência.

Isso significa que se um ponto qualquer $P(x,y)$ movimentar-se sobre a circunferência, suas coordenadas variarão, mas a distância de $P$ ao centro $C$ da circunferência será sempre igual à medida do raio $r$.
equacao-generica-da-circunferencia

Seja uma circunferência de centro $C(a,b)$ e raio $r$ e seja um ponto genérico $P(x,y)$. A distância de $P$ ao centro $C$ é dada por:
$$
d_{CP} = \sqrt{(x-a)^2+(y-b^2} = r
$$

Elevando ambos os membros da equação ao quadrado, obtemos:
$$
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
$$
Esta equação é denominada equação reduzida da circunferência e possui centro $C(a,b)$ e raio $r$.

Exemplo 1:

A circunferência de centro $C(3,5)$ e raio $4$ tem equação:
$$
(x-3)^2 + (y-5)^2 = 16
$$
equacao-da-circunferencia-de-centro-C3e5-raio-4

Exemplo 2:

A circunferência de centro $C(-2,4)$ e raio $2$ tem equação:
$$
(x+2)^2 + (y-4)^2 = 4
$$
equacao-da-circunferencia-de-centro-C-2e4-raio-2

Exemplo 3:

Seja uma circunferência de centro $C(3,4)$ e raio $r=5$. Vamos determinar:

a) Os pontos que possuem ordenada igual a 7;
b) O valor de $m$ para que $P(-2,m)$ pertença à circunferência;
c) Os pontos da circunferência que possuem ordenada igual a 10;
d) As intersecções da circunferência com o eixo dos $y$.
equacao-da-circunferencia-de-centro-C3e5-raio-5

Resoluções:

a) Para encontrarmos os pontos da circunferência que possuem ordenada igual a 7, substituímos $y=7$ na equação da circunferência, obtendo:
$$
(x-3)^2 + (7-4)^2 = 5^2\\
\ \\
(x-3)^2 + 9 = 25\\
\ \\
(x-3)^2 -16 = 0\\
\ \\
x^2 - 6x + 9 - 16 = 0\\
\ \\
x^2 - 6x - 7 = 0\\
\ \\
x = \frac{6 \pm \sqrt{36+28}}{2}\\
\ \\
x = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2}\\
\ \\
x_1 = \frac{6+8}{2} = 7\\
\ \\
x_2 = \frac{6-8}{2}=-1
$$
Assim, os pontos solicitados são: $(7,7)$ e $(-1,7)$.

b) Dado o ponto $P(-2,m)$, para que ele pertença à circunferência, substituímos suas coordenadas na equação da circunferência:
$$
(-2-3)^2 + (m-4)^2 = 25\\
\ \\
25 + (m-4)^2 = 25\\
\ \\
(m-4)^2 = 0\\
\ \\
(m-4)(m-4) = 0\\
\ \\
m=4
$$
Assim, o valor de $m$ para que $P$ pertença à circunferência é $m=4$.

c) Para encontrarmos os pontos da circunferência que possuem ordenada igual a 10, substituímos $y=10$ na equação da circunferência, obtendo:
$$
(x-3)^2 + (10-4)^2 = 25\\
\ \\
(x-3)^2 + 36 = 25\\
\ \\
(x-3)^2 +11 = 0\\
\ \\
x^2 -6x + 20 = 0\\
\ \\
x = \frac{6 \pm \sqrt{36-80}}{2}\\
\ \\
x = \frac{6 \pm \sqrt{-44}}{2}
$$
Como $\Delta < 0$, não existem raízes reais para a equação, logo, não existem pontos da circunferência que possua ordenada igual a 10.

d) Para encontrarmos as intersecções da circunferência com o eixo dos $y$, substituímos $x=0$ na equação da circunferência, obtendo:
$$
(0-3)^3 + (y-4)^2 = 25\\
\ \\
9 + (y-4)^2 = 25\\
\ \\
y^2 - 8y + 16 + 9 -25 = 0\\
\ \\
y^2 - 8y = 0\\
\ \\
y(y - 8) = 0\\
\ \\
y_1 = 0\\
\ \\
y_2 = 8
$$
Assim, os pontos em que a circunferência intersecta o eixo dos $y$ são: $(0,0)$ e $(0,8)$.

A equação geral da circunferência

A equação geral da circunferência pode ser obtida expandindo a equação reduzida:
$$
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\
\ \\
x^2 - 2ax + a^2 + y^2 -2by + b^2 = r^2
$$
Reorganizando os termos:
$$
x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0
$$
Podemos reescrever como:
$$
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \tag{2}
$$
onde:
  • $x$ e $y$ representam as coordenadas de qualquer ponto da circunferência;
  • $D$, $E$ e $F$ são constantes reais dadas por:
\begin{align*}
D& = -2a\\
\ \\
E &= -2b\\
\ \\
F &= a^2+b^2-r^2
\end{align*}

Como a equação geral é obtida da expansão da equação reduzida, o processo inverso também é útil quando queremos, por exemplo, encontrar o centro e o raio de uma circunferência a partir de sua equação geral.

Exemplo 4:

Seja $x^2+y^2-6x+4y-3=0$ a equação geral de uma circunferência. Vamos encontrar o centro e o raio dessa circunferência.

Iniciamos agrupando os termos que contém $x$ e $y$:
$$
(x^2-6x) + (y^2+4y) = 3
$$
Para continuarmos na determinação o centro e o raio, temos que utilizar o método de completar quadrados. Esse método consiste em transformar a equação geral em uma equação reduzida.

Leia o artigo: Completando quadrados

A ideia é transformar $(x^2-6x)$ e $(y^2+4y)$ em quadrados perfeitos. Para isso, temos que somar uma quantidade $M$ a $(x^2-6x)$ e uma quantidade $N$ a $(y^2+4y)$, de modo que se transforme em quadrados perfeitos.

Uma forma de obter os valores de $M$ e $N$ é tomar o quadrado da metade do coeficiente das variáveis de graus 1, ou seja:

Para $(x^2-6x)$, tomamos a metade do coeficiente de $x$, que é 6, e elevamos ao quadrado:
$$
M = \left( \frac{6}{2} \right)^2 = 9
$$
Para $(y+4y)$, tomamos a metade do coeficiente de $y$, que é 4, e elevamos ao quadrado:
$$
N = \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4
$$
Então, somamos estes valores de $M$ e $N$ em ambos os membros da equação:
$$
(x^2-6x+9) + (y^2+4y+4) = 3 + 9 + 4
$$
obtendo a equação reduzida:
$$
(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16
$$
Assim, temos que a circunferência possui centro igual a $C(3,-2)$ e raio igual a $r=4$.

Características da equação geral da circunferência

A partir dos coeficientes $D$, $E$ e $F$ da equação geral, podemos determinar o centro e o raio da circunferência.

O centro $(a,b)$ da circunferência é dado por:
$$
C = \left( -\frac{D}{2} , - \frac{E}{2} \right) \tag{3}
$$
O raio $r$ da circunferência é dado por:
$$
r = \sqrt{\left( \frac{D}{2} \right)^2 + \left( \frac{E}{2} \right)^2 - F} \tag{4}
$$
Se o valor da raiz quadrada for negativo, indica que a equação em questão não representa uma circunferência.

Exemplo 5:

Vamos tomar a mesma equação do exemplo 4 e calcular as coordenadas do centro e o raio da circunferência utilizando as fórmulas $(3)$ e $(4)$ obtidas acima.

A equação geral da circunferência é:
$$
x^2+y^2-6x+4y-3=0
$$
Identificamos as constantes $D$, $E$ e $F$:
\begin{align*}
D& = -6\\
\ \\
E& = 4\\
\ \\
F&= -3
\end{align*}
Para calcularmos o centro da circunferência, fazemos:
$$
C = \left( -\frac{D}{2} , - \frac{E}{2} \right)\\
\ \\
C = \left( -\frac{(-6)}{2} , - \frac{4}{2} \right)\\
\ \\
C = (3, -2)
$$
Para calcularmos o raio da circunferência, fazemos:
$$
r = \sqrt{\left( \frac{D}{2} \right)^2 + \left( \frac{E}{2} \right)^2 - F}\\
\ \\
r = \sqrt{\left( \frac{-6}{2} \right)^2 + \left( \frac{4}{2} \right)^2 - (-3)}\\
\ \\
r = \sqrt{9+4+3}\ \\
\ \\
r = \sqrt{16}\\
\ \\
r = 4
$$
Podemos ver que o centro e o raio calculados foram iguais aos encontrados no exemplo 4, o que não surpreende, mas conforta.

Circunferência com centro da origem

Se $D=0$ ed $E=0$, a equação geral da circunferência se reduz a:
$$
x^2+y^2=r^2
$$
representando uma circunferência com centro na origem $(0,0)$.

Circunferência degenerada

Se $r=0$, a equação representa um único ponto, ou seja, a circunferência se degenera em um ponto.

Referências:

  • Matemática para o Ensino Médio V3 - Katia Stocco Smole & Maria Ignez Diniz


Veja mais:


Resolução da integral $\displaystyle \int x \ \ln(x)\ dx$

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Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?
 
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
 
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituiçãopor partespor frações parciais ou substituição trigonométrica ou ainda uma combinação de métodos.
 
Nesta postagem, vamos demonstrar que:
$$
\int x \ \ln(x)\ dx = \frac{x^2}{4}\Big(2 \ln(x)-1\Big) + C
$$
resolucao de integral x ln(x) por partes solve xlnx x ln x

Seja a integral:
$$
I = \int x \ \ln(x)\ dx
$$
Para o integrando $x\ \ln(x)$, utilizamos o método de integração por partes:
$$
\int u\ dv = uv - \int v\ du
$$
Fazemos:
\begin{matrix}
u=\ln(x) & \longrightarrow & \displaystyle du=\frac{1}{x}dx\\
\ \\
dv=x\ dx & \longrightarrow & \displaystyle v = \frac{x^2}{2}
\end{matrix}
Assim:
$$
I = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\ dx\\
\ \\
I = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \int x\ dx
$$
A integral de $x$ é $\displaystyle \frac{x^2}{2}$, logo:
$$
I = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C\\
\ \\
I = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C\\
\ \\
I = \frac{x^2}{4} \Big( 2 \ln(x) - 1 \Big) + C
$$

Exemplo:

Vamos calcular a área compreendida entre a curva e o eixo dos x.

O gráfico da função $f(x)=x \ln(x)$ corta o eixo dos $x$ nos pontos $0$ e $1$. Esses pontos são os zeros da função e são obtidos igualando a função a zero:
$$
x \ln(x) = 0
$$
Os valores de $x$ para que obtenhamos zero são:
$$
x_1=0 \quad \text{ou} \quad x_2=1
$$
Para encontrarmos a área entre a curva e o eixo dos $x$, utilizamos o conceito de integral definida. Fazemos:
$$
A = \int_0^1 x \ln(x)\ dx
$$
Graficamente, temos:
calculo da area sob a curva x ln x integral por partes

Utilizando o resultado obtido da integral, temos:
$$
A = \left[ \frac{x^2}{4} \Big( 2 \ln(x)-1\Big) \right]_0^1\\
\ \\
A = \frac{1^2}{4} \Big( 2\ln(1) - 1\Big) - \frac{0^2}{4}\Big( 2 \ln(0)-1\Big)\\
\ \\
A = \frac{1}{4} (2\cdot 0-1) - 0\\
\ \\
A = \frac{1}{4} (-1)\\
\ \\
A = -\frac{1}{4}
$$
A área encontrada foi de $- \displaystyle \frac{1}{4}$ unidades de área. O valor negativo implica que a região calculada encontra-se sob o eixo dos $x$, possuindo um valor absoluto de $1/4$ unidades de área.

Fórmula para o raio da circunferência inscrita a um triângulo retângulo

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Veremos neste artigo duas fórmulas para encontrar o raio de uma circunferência inscrita a um triângulo retângulo. Uma utilizando o conceito de incentro e outra utilizando áreas.

Determinação do raio utilizando o incentro

O incentro é um dos pontos notáveis de um triângulo e é definido pelo encontro das três bissetrizes internas e se encontra equidistante aos lados do triângulo. Isso quer dizer que o segmento de reta que parte do incentro é perpendicular aos lados do triângulo. Assim, conseguimos descrever uma circunferência com centro no incentro tangenciando os três lados do triângulo.
formula-para-o-raio-da-circunferencia-inscrita-no-triangulo-retangulo-metodo-incentro

Temos que:
$$
a = (c-r) + (b-r)\\
\ \\
a = c+b-2r\\
\ \\
2r = b+c-a
$$
Isolando $r$, obtemos:
$$
r = \frac{b+c-1}{2} \tag{1}
$$

Determinação do raio utilizando áreas

Como a circunferência está inscrita no triângulo retângulo, logo, seu centro é o incentro do triângulo. Como vimos no tópico anterior, o segmento que parte do incentro é perpendicular aos lados do triângulo. Assim, podemos dividir o triângulo $ABC$ em outros três triângulos:
formula-para-o-raio-da-circunferencia-inscrita-no-triangulo-retangulo-metodo-areas

Temos que:
$$
A_{ABC} = A_{AIB} + A_{AIC} + A_{BIC} \tag{2}
$$
A área do triângulo $AIB$ é dada por:
$$
A_{AIB} = \frac{c \cdot r}{2} \tag{3}
$$
A área do triângulo $AIC$ é dada por:
$$
A_{AIC} = \frac{b c\dot r}{2} \tag{4}
$$
A área do triângulo $BIC$ é dada por:
$$
A_{BIC} = \frac{a \cdot r}{2} \tag{5}
$$
A área do triângulo $ABC$ pode ser calculada como:
$$
A_{ABC} = \frac{b \cdot c}{2} \tag{6}
$$
Substituindo $(3)$, $(4)$, $(5)$, $(6)$ em $(2)$, obtemos:
$$
\frac{b \cdot c}{2} = \frac{c\cdot r}{2} + \frac{b\cdot r}{2} + \frac{a\cdot r}{2}\\
\ \\
b\ c = c\ r + b\ r + a\ r\\
\ \\
b\ c = r(a + b + c)
$$
Isolando $r$, obtemos:
$$
r = \frac{b\ c}{a+b+c}\tag{7}
$$

Exemplo:

Dado o triângulo retângulo $ABC$, de lados 3, 4, 5, vamos calcular o raio da circunferência inscrita.
formula-para-o-raio-da-circunferencia-inscrita-no-triangulo-retangulo-exemplo

Vamos aplicar as duas fórmulas obtidas anteriormente para calcular o raio da circunferência.

Fórmula 1:Fórmula 2:
$$
r = \frac{b+c-a}{2}\\
\ \\
r = \frac{3+4+5}{2}\\
\ \\
r = \frac{7-5}{2}\\
\ \\
r = \frac{2}{2}\\
\ \\
r = 1
$$
$$
r = \frac{b\ c}{a+b+c}\\
\ \\
r = \frac{3\cdot 4}{3+4+5}\\
\ \\
r = \frac{12}{12}\\
\ \\
r = 1
$$

Veja mais:


Não há um "Teorema de Pitágoras", mas sim Triplas Pitagóricas

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O enunciado mais famoso associado ao nome de Pitágorasé o teorema que estabelece uma relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo:

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Hoje se sabe que essa relação era conhecida por diversos povos mais antigos do que os gregos e pode ter sido um saber comum na época de Pitágoras. No entanto, não é nosso objetivo mostrar que os pitagóricos não foram os primeiros na história a estabelecer tal relação. O objetivo é investigar de que modo esse resultado podia intervir na matemática praticada pelos pitagóricos, com as características anteriormente descritas.

A demonstração desse teorema, encontrada nos Elementos de Euclides, faz uso de resultados que eram desconhecidos na época da escola pitagórica. Não se conhece nenhuma prova do teorema geométrico que tenha sido fornecida por um pitagórico e parece pouco provável que ela exista. O professor e historiador de mitologias e mitos gregos, Walter Burkert afirma que o teorema “de Pitágoras” era um resultado mais aritmético que geométrico.

Quando falamos de aritmética nos referimos ao estudo de padrões numéricos que estavam no cerne da matemática pitagórica e que dizem respeito aos números figurados. Não deve ter havido um teorema geométrico sobre o triângulo retângulo demonstrado pelos pitagóricos, e sim um estudo das chamadas triplas pitagóricas ou ternos pitagóricos.

O problema das triplas pitagóricasé fornecer triplas constando de dois números quadrados e um terceiro número quadrado que seja a soma dos dois primeiros. Essas triplas são constituídas por números inteiros que podem ser associados às medidas dos lados de um triângulo retângulo. Alguns historiadores da matemática defendem que na Tábua de Plimpton 322 há um indício de que os babilônios já estudavam as triplas pitagóricas, o que mostraria que a relação atribuída a Pitágoras seria conhecida na Babilônia pelo menos mil anos antes dele.

numeros-figurados-pitagoras-quadrados

Provavelmente, os pitagóricos chegaram a essas triplas por meio do gnômon (instrumento astronômico antigo que, provavelmente, foi o primeiro a indicar a hora do dia, por volta de 3500 a.C.), que era sinônimo de números ímpares, formados pelas diferenças entre números quadrados sucessivos.

Os gnômons, que podem ser vistos como esquadros, forneciam uma técnica para a realização de cálculos. Observando a figura acima, podemos calcular a sequência dos quadrados com o deslocamento do esquadro, procedimento equivalente a somar a sequência dos números ímpares. Por exemplo, para obter o 4 a partir do 1, adicionamos o gnômon de três pontos; para obter o 9 a partir do 4, adicionamos o próximo gnômon, que é o próximo número ímpar, 5. Seguindo esse procedimento, chega-se a uma figura na qual o gnômon também é um número quadrado, constituído por nove pontinhos. Obtém-se, assim, a igualdade 16 + 9 = 25, que dá origem à primeira tripla pitagórica: (3, 4, 5).

Esses seriam os procedimentos aritméticos usados para se obter as triplas pitagóricas. Ou seja, a fórmula de Pitágoras pertenceria ao contexto dos números figurados. Na tradição, poucas triplas são mencionadas e (3, 4, 5) tem um papel especial, pois 3 é o macho; 4, a fêmea; e 5, o casamento que os une no triângulo pitagórico.

Segundo Proclo (ou Proclus), havia dois métodos para se obter triplas pitagóricas: um de Pitágoras, outro de Platão.

O método de Pitágoras começa pelos números ímpares. Associando um dado número ao menor dos lados do triângulo que formam o ângulo reto, tomamos o seu quadrado, subtraímos a unidade e dividimos por 2, obtendo o outro lado, que forma o ângulo reto. Para obter o lado oposto, somamos a unidade novamente ao resultado. Seja 3, por exemplo, o menor dos lados. Toma-se o seu quadrado (9) e subtrai-se a unidade, obtendo 8, e calcula-se a metade de 8, que é 4. Adicionando a unidade novamente, obtemos 5, e o triângulo retângulo que procuramos é o de lados 3, 4 e 5.

O método platônico começa por um número par, considerado um dos lados que formam o ângulo reto. Primeiro dividimos esse número por 2 e fazemos o quadrado de sua metade. Subtraindo 1 desse quadrado, obtemos o outro lado que forma o ângulo reto e, adicionando 1, o lado restante. Por exemplo, seja 4 o lado. Dividimos por 2 e tomamos o quadrado da metade, obtendo 4. Subtraímos 1 e adicionamos 1, obtendo os lados restantes: 3 e 5.

Método para encontrar triplas

Em linguagem atual, se $a$ é um número ímpar, podemos traduzir o método de Pitágoras na obtenção dos números $\displaystyle \frac{a^2-1}{2}$ e $\displaystyle \frac{a^2+1}{2}$, que satisfazem a relação:
$$
a^2 + \left(\frac{a^2-1}{2}\right)^2 = \left(\frac{a^2+1}{2}\right)^2
$$

Cateto menor
$a$
Cateto maior
$\displaystyle \frac{a^2-1}{2}$
Hipotenusa
$\displaystyle \frac{a^2+1}{2}$
345
51213
72425
94041
116061
138485
15112113

o método de Platão se refere à obtenção dos números $2a$, $a^2-1$ e $a^2+1$, que satisfazem a relação:
$$
\left( 2a \right)^2 + \left( a^2-1 \right)^2 = \left( a^2+1 \right)^2
$$
Cateto maior
$2a$
Cateto menor
$a^2-1$
Hipotenusa
$a^2+1$
435
6810
81517
102426
123537
144850
166365

Chegamos à estranha conclusão de que o famoso teorema “de Pitágoras” era, para a escola pitagórica, um resultado aritmético e não geométrico, cujo significado ia além do estritamente matemático. O método usado para encontrar triplas pitagóricas não é suficiente para assegurar a validade geométrica do teorema “de Pitágoras” em todos os casos. Tal método permite gerar algumas triplas, como (3, 4, 5), mas não todas as triplas de números que podem medir os lados de um triângulo retângulo, sobretudo porque essas medidas não são necessariamente dadas por números naturais.

Ao que parece, os pitagóricos estavam interessados na relação “aritmética” expressa pelas triplas em um sentido particular. Logo, pelo contexto em que esse resultado intervém, não é possível dizer que o conhecimento aritmético das triplas pitagóricas seja o exato correlato do teorema geométrico atribuído a Pitágoras, daí as aspas empregadas aqui ao falarmos do "teorema de Pitágoras”. Não se sabe, contudo, se no meio grego da época de Pitágoras eram conhecidas outras provas a partir de uma teoria das razões e proporções simples. Os triângulos retângulos podiam ser usados para somar áreas e o resultado expresso pelo teorema “de Pitágoras” podia ser útil por possibilitar encontrar um quadrado cuja área fosse a soma das áreas de dois quadrados.

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Referências:

  • História da Matemática: Uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas - Tatiana Roque

Veja mais:

Fórmula de redução para a integral $\displaystyle \int \sec^n(x)\ dx$

$
0
0
formula de redução sec^n x secante elevada a n elevada a enesima potencia

Fórmulas de redução são métodos baseados em relações de recorrência que nos permite reduzir a potência do integrando a fim de tornar mais fácil o processo de integração.

A ideia é expressar um integrando que envolva uma potência inteira $n$ de uma função em termos de $n-1$ ou $n-2$. O processo de redução pode ser continuado até obtermos uma função que seja mais facilmente integrável.


Veremos neste artigo como encontrar uma fórmula de redução para a secante elevada à enésima potência utilizando o método de integração por partes:
$$
\int \text{sec}^n(x)\ dx = \\
\frac{1}{n-1}\text{sec}^{n-2}(x)\ \text{tg}(x) + \frac{n-2}{n-1}\int \text{sec}^{n-2}(x)\ dx
$$
para $n>2$.

Seja a integral:
$$
I = \int \text{sec}^n(x)\ dx
$$
Reescrevemos o integrando como:
$$
I = \int \text{sec}^{n-2}(x) \cdot \text{sec}^2(x)\ dx
$$
Utilizamos o método de integração por partes, fazemos:

$
\begin{cases}
u = \text{sec}^{n-2}(x)\\
\ \\
du = (n-2)\ \text{sec}^{n-3}(x)\ \text{sec}(x)\ \text{tg}(x)\ dx
\end{cases}
$

e

$
\begin{cases}
dv=\text{sec}^2(x)\ dx\\
\ \\
v= \text{tg}(x)
\end{cases}
$

Aplicamos os resultados na fórmula para integração por partes, lembrando que:
$$
\int u\ dv = u\ v - \int v\ du
$$
Assim:
$$
I = \text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x)  \\
-\int \text{tg}(x)\ (n-2)\text{sec}^{n-3}(x)\ \text{sec}(x)\ \text{tg}(x) \ dx\\
\ \\
I = \text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x) \\
-(n-2)\int \text{sec}^{n-2}(x)\ \text{tg}^2(x) \ dx
$$
Utilizando a identidade trigonométrica $\text{tg}^2(x) = \text{sec}^2(x)-1$, temos:
$$
I = \text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x) \\
-(n-2)\int \text{sec}^{n-2}(x) \left( \text{sec}^2(x) -1 \right)\ dx\\
\ \\
I = \text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x)  \\
-(n-2)\int \left( \text{sec}^n (x)-\text{sec}^{n-2}(x) \right)\ dx\\
\ \\
I = \text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x) \\
-(n-2)\int \text{sec}^{n}(x)\ dx + (n-2) \int \text{sec}^{n-2}(x)\ dx
$$
A primeira integral é a integral original, de modo que podemos substituí-la por $I$:
$$
I = \text{sec}^{n-2}(x)\ \text{tg}(x) \\
-(n-2)I + (n-2) \int \text{sec}^{n-2}(x)\ dx\\
\ \\
I+(n-2)I = \text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x) \\
+ (n-2)\int \text{sec}^{n-2}(x)\ dx\\
\ \\
(n-1) I = \text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x) \\
+(n-2)\int \text{sec}^{n-2}(x)\ dx\\
\ \\
\boxed{I = \frac{1}{n-1}\text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x) \\
+ \frac{n-2}{n-1}\int \text{sec}^{n-2}(x)\ dx}
$$

$ \bullet$ Para $n=3$, teremos:
$$
I_3 = \int \text{sec}^3(x)\ dx\\
\ \\
I_3 = \frac{1}{3-1} \text{sec}^{3-2}(x)\text{tg}(x) +\frac{3-2}{3-1} \int \text{sec}^{3-2}(x)\ dx\\
\ \\
I_3 = \frac{1}{2} \text{sec}(x)\text{tg}(x) + \frac{1}{2} \int \text{sec}(x)\ dx
$$
A integral de $\text{sec}(x)$ é $\ln | \text{sec}(x) + \text{tg}(x)|$. Assim:
$$
I_3 = \frac{1}{2} \text{sec}(x)\text{tg}(x) + \frac{1}{2} \ln|\text{sec}(x)+\text{tg}(x)| + C
$$

$\bullet$ Para $n=4$, teremos:
$$
I_4 = \int \text{sec}^4(x)\ dx\\
\ \\
I_4 = \frac{1}{4-1}\text{sec}^{4-2}(x)\text{tg}(x) + \frac{4-2}{4-1} \int \text{sec}^{4-2}(x)\ dx\\
\ \\
I_4 = \frac{1}{3} \text{sec}^2(x)\text{tg}(x) + \frac{2}{3} \int \text{sec}^2(x)\ dx
$$
A integral de $\text{sec}^2(x)$ é $\text{tg}(x)$, assim:
$$
I_4 = \frac{1}{3}\text{sec}^2(x)\text{tg}(x) + \frac{2}{3} \text{tg}(x)+C
$$
Utilizando a identidade trigonométrica $\text{sec}^2(x) = \text{tg}^2+1$, temos:
$$
I_4 = \frac{1}{3}\Big(\text{tg}^2(x) + 1\Big) \text{tg}(x) + \frac{2}{3}\text{tg}(x)+C\\
\ \\
I_4 = \frac{1}{3} \text{tg}^3(x) + \frac{1}{3}\text{tg}(x) + \frac{2}{3}\text{tg}(x)+C\\
\ \\
I_4 = \frac{1}{3} \text{tg}^3(x) + \text{tg}(x) + C
$$

Fórmula de redução para a integral $\displaystyle \int \text{cossec}^n(x)\ dx$

$
0
0
formula-de-reducao-para-a-integral-da-cosseec^n(x)

Fórmulas de redução são métodos baseados em relações de recorrência que nos permite reduzir a potência do integrando a fim de tornar mais fácil o processo de integração.

A ideia é expressar um integrando que envolva uma potência inteira $n$ de uma função em termos de $n-1$ ou $n-2$. O processo de redução pode ser continuado até obtermos uma função que seja mais facilmente integrável.

Outras fórmulas de redução para integrais:
$\bullet$ $\displaystyle \int \text{sen}^n(x) dx$$\bullet$ $\displaystyle \int \text{sec}^n(x)\ dx$
$\bullet$ $\displaystyle \int \text{cos}^n(x)\ dx$$\bullet$ $\displaystyle \int \text{cossec}^n(x)\ dx$
$\bullet$ $\displaystyle \int \text{tg}^n(x) dx$

Veremos neste artigo como encontrar uma fórmula de redução para a cossecante elevada à enésima potência utilizando o método de integração por partes:
$$
\int \text{cossec}^n(x)\ dx =\\
-\frac{1}{n-1} \text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}(x) + \frac{n-2}{n-1} \int \text{cossec}^{n-2}(x)\ dx
$$
para $n \geq 2$.

Seja a integral:
$$
I = \int \text{cossec}^n(x)\ dx
$$
Reescrevemos o integrando como:
$$
I = \int \text{cossec}^{n-2}(x)\ \text{cossec}^2(x)\ dx
$$
Utilizamos o método de integração por partes, fazendo:

$
\begin{cases}
u = \text{cossec}^{n-2}(x)\\
\ \\
du = -(n-2)\text{cossec}^{n-2}(x)\ \text{cotg}(x)\ dx
\end{cases}
$

$
\begin{cases}
dv = \text{cossec}^2(x)\ dx\\
\ \\
v = -\text{cotg}(x)
\end{cases}
$

Aplicamos os resultados na fórmula para integração por partes, lembrando que:
$$
\int u\ dv = u\ v - \int v\ du
$$
Assim:
$$
I = -\text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}(x) \\
-(n-2) \int \text{cotg}(x) \text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}(x)\ dx\\
\ \\
\ \\
I = -\text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}(x)\\
-(n-2) \int \text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}^2(x)\ dx
$$
Utilizando a identidade trigonométrica $\text{cotg}^2(x)=\text{cossec}^2(x)-1$, temos:
$$
I = -\text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}(x)\\
-(n-2) \int \text{cossec}^{n-2}(x) \big(\text{cossec}^2(x)-1\big)\ dx\\
\ \\
\ \\
I = -\text{cossec}^{n-2}(x)\text{cotg}(x)\\
-(n-2) \int \big(\text{cossec}^n(x)-\text{cossec}^{n-2}(x)\big)\ dx\\
\ \\
\ \\
I = -\text{cossec}^{n-2}\text{cotg}(x)\\
-(n-2) \int \text{cossec}^n(x)dx + (n-2)\int \text{cossec}^{n-2}(x)dx
$$
A primeira integral é a integral original, de modo que podemos substituí-la por $I$:
$$
I = -\text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}(x)\\
-(n-2)I + (n-2)\int \text{cossec}^{n-2}(x)dx\\
\ \\
\ \\

I + (n-2)I = -\text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}(x)\\
+(n-2)\int \text{cossec}^{n-2}(x)dx\\
\ \\
\ \\
(n-1)I = -\text{cossec}^{n-2}(x)\text{cotg}(x) \\
+(n-2)\int \text{cossec}^{n-2}(x)dx\\
\ \\
\ \\
\boxed{I = -\frac{1}{n-1} \text{cossec}^{n-2}(x)\text{cotg}(x) \\
+ \frac{n-2}{n-1} \int \text{cossec}^{n-2}(x)dx}
$$

$\bullet$ Para $n=2$, teremos:
$$
I_2 = \int \text{cossec}^2(x)\ dx\\
\ \\
\ \\
I_2 = -\frac{1}{2-1} \text{cossec}^{2-2}(x)\text{cotg}(x) \\
+\frac{2-2}{2-1} \int \text{cossec}^{2-2}(x)\ dx\\
\ \\
\ \\
I_2 = - \text{cotg}(x)+C
$$

$\bullet$ Para $n=3$, teremos:
$$
I_3 = \int \text{cossec}^3(x)\ dx\\
\ \\
\ \\
I_3 = -\frac{1}{3-1} \text{cossec}^{3-2}(x) \text{cotg}(x)\\
+\frac{3-2}{3-1} \int \text{cossec}^{3-2}(x)dx\\
\ \\
\ \\
I_3 = -\frac{1}{2} \text{cossec}(x)\text{cotg}(x)\\
+ \frac{1}{2} \int \text{cossec}(x)\ dx
$$
A integral de $\text{cossec}(x)$ é $-\ln |\text{cossec}(x)+\text{cotg}(x)|$. Assim:
$$
I_3 = -\frac{1}{2} \text{cossec}(x) \text{cotg}(x)\\
- \frac{1}{2} \ln| \text{cossec}(x)+\text{cotg}(x)| + C\\
\ \\
\ \\
I_3 = -\frac{1}{2} \big(\text{cossec}(x)\text{cotg}(x)\\
+ \ln|\text{cossec}(x)+\text{cotg}(x)|\big)+C
$$

$\bullet$ Para $n=4$, teremos:
$$
I_4 = -\frac{1}{4-1} \text{cossec}^{4-2}(x)\text{tg}(x)\\
+ \frac{4-2}{4-1} \int \text{cossec}^{4-2}(x)\ dx\\
\ \\
\ \\
I_4 = -\frac{1}{3} \text{cossec}^2(x) \text{cotg}(x)\\
+\frac{2}{3} \int \text{cossec}^2(x)\ dx
$$
A integral de $\text{cossec}^2(x)$ é $-\text{cotg}(x)$:
$$
I_4 = -\frac{1}{3} \text{cossec}^2(x)\text{cotg}(x)\\
- \frac{2}{3} \text{cotg}(x) + C\\
\ \\
\ \\
I_4 = -\frac{1}{3} \text{cotg}(x)\big(\text{cossec}^2(x)+2\big) + C
$$

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