Fórmula de Redução para Alguns Casos de Integrais

Quando escrevemos a fórmula da derivada de um produto na notação diferencial, temos:

ou ainda:

e por integração:

Esta é a fórmula da integração por partes que, com frequência, funciona quando os outros métodos falham.

Em alguns casos é necessário efetuar duas ou mais integrações por partes sucessivamente, como no caso da integral:

Pode ocorrer de a integral original aparecer uma segunda vez durante o processo de integração por partes e, neste caso, com frequência é possível isolar esta integral por álgebra elementar.

Exemplo 1: Seja a integral:

Vamos chamar esta integral de J. Então:

Assim, temos que:

e

Então, fazemos:

Apesar das integrais dadas em (2) e (4) serem de mesma complexidade, aplicamos novamente o método de integração por partes. Assim, temos:

e

Fazemos:

Vemos que a integral da direita da expressão (5) é a integral J dada em (3). Desta forma, temos:

Substituindo (6) em (4) obtemos:

Isolando J:

Assim:

Este método é muitas vezes utilizado para fazer uma integral depender de uma integral mais simples do mesmo tipo e assim obter uma fórmula de redução conveniente, cuja aplicação repetida leve ao cálculo da integral dada.

Exemplo 2: Vamos determinar agora uma fórmula de redução para a integral:

Integrando por partes e desmembrando o integrando, obtemos:

Vejam que na expressão (8) temos a integral original dada em (7):

Assim, substituindo (9) e (10) em (8), obtemos:

De modo que:

O que nos leva a:

Analisando a fórmula de redução dada em (11), observamos que podemos reduzir de 2 o expoente de sen(x). Aplicando repetidamente esta fórmula, podemos reduzir J_n para J₀ ou J₁, conforme n seja par ou ímpar, mas ambas integrais fáceis de calcular.

e

Por exemplo, se n = 4, temos:

Mas como para n = 2 temos:

Portanto, substituindo (13) em (12):

Exemplo 3:Vamos calcular agora, a integral definida:

Escrevemos:

Pela fórmula de redução dada em (11), fazemos:

Aplicando a fórmula para n = 8:

Assim,

Portanto:

Referências:

[1] Cálculo com Geometria Analítica V1 – Simmons – Editora McGraw Hill