Integrais Impróprias com Limites Finitos

Quando escrevemos uma integral definida como:

admitimos que o limite de integração são números finitos e que o integrando f (x) é uma função contínua no intervalo limitado a≤ x ≤ b. Sua representação gráfica é a área sob a curva:

[Figura 1]

Para calcularmos uma área de regiões ilimitadas, temos que utilizar as integrais impróprias. Considere, por exemplo, a região R sob a curva da equação y = 1 / x²:

[Figura 2]

Observe que a região R se estende indefinidamente para a direita de x = 1. Seja R_u a região limitada sob a curva de f (x) = 1/x², entre x =1 e x = u:

[Figura 3]

A área da região R_ué dada por:

Quando u cresce, a região limitada R_u pode ser considerada como uma boa aproximação da região ilimitada R. Isso no induz a escrever:

O que nos leva a:

Geralmente, se fé uma função definida num intervalo da forma [a, +∞) e se f (x) ≥ 0 é válido quando x ≥ a, definimos a área da região limitada sob a curva de f e à direita de x = a como:

Frequentemente representamos esta área simplesmente por:

Definição 1:Integrais impróprias com limite superior infinito

Seja f uma função definida pelo menos no intervalo infinito [a, +∞). Suponha que f seja integrável no intervalo fechado [a, u] para todos os valores de u. Então definimos:

Se o limite existe e tem um valor finito, a integral imprópria diz-se convergente e esse valor é atribuído a ele. Caso contrário, a integral é chamada divergente.

Se f (x) ≥ 0, então a expressão dada em (2) pode ser tomada como a área da região ilimitada representada na figura 3.

Exemplo 1:

Esta integral diverge porque o limite é infinito.

Exemplo 2:

Essa integral imprópria é convergente porque o limite existe e é finito.

Exemplo 3:

Essa integral imprópria é convergente porque o limite existe e é finito.

Exemplo 4:

Essa integral imprópria é convergente porque o limite existe e é finito.

Exemplo 5:

Essa integral imprópria diverge porque o limite é infinito.

 Exemplo 6:

O limite não existe e a integral diverge.

Podemos generalizar os exemplos 1 e 2 de modo que a integral

converge se p> 1 e diverge se p≤ 1. Assim, temos:

Vejam que, para p> 1 implica que o limite:

Exemplo 7:

Podemos reescrever esta integral como:

Assim, temos que p = 4/3. Fazemos:

Desta forma, a integral imprópria converge porque seu limite é finito.

Exercícios propostos: Verificar se as integrais impróprias são convergentes ou divergentes.

Referências:

[1] Cálculo V1 – Munem-Foulis – Ed. Guanabara Dois
[2] Cálculo com Geometria Analítica V1 – Simmons – Ed. McGraw-Hill
[3] Cálculo 1 – Luiz Mauro Rocha – Ed. Atlas